Demostración del resultado de integración de Lebesgue

Question

Tengo una pregunta sobre la integración de Lebesgue y una prueba propuesta. Por favor, aconséjeme.

Dejemos que $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ (denote el límite como $\partial \Omega$ ) y considere $$\int_{\partial \Omega} vf d\lambda \geq 0 \text{ } \text{ for all } v \in C^{1}(\overline{\Omega}) \text{ } \text{ with } f \in C^{1}(\overline{\Omega})$$ entonces se deduce que $f \geq 0$ por cada $x \in \partial \Omega$ . También se nos da que $v|_{\partial \Omega} \geq 0$ .

Answer 1

Combinar mis ideas en una respuesta:

Definir $v(x) = -f(x) \chi_{f^{-1}(-\infty,0]}(x)$ . Tenga en cuenta que en general $v$ es sólo $C^0$ no $C^1$ por lo que no podemos utilizarla directamente como función de prueba.

Supongamos que existe $x$ para que $f(x) < 0$ . Entonces, por continuidad de $v$ y $f$ , $\langle v,f \rangle < 0$ . Por Cauchy-Schwarz tenemos que $\| f \|_{L^2} > 0$ por lo que podemos definir $\varepsilon = \frac{|\langle v,f \rangle|}{2 \| f \|_{L^2}}$ . Encuentre $w \in C^1$ para que $\| w - v \|_{L^2} < \varepsilon$ . (Se necesita un poco de trabajo para demostrar que esto se puede hacer.) Entonces, utilizando Cauchy-Schwarz,

$$\left | \langle w,f \rangle - \langle v,f \rangle \right | = \left | \langle w-v,f \rangle \right | \leq \| w - v \|_{L^2} \| f \|_{L^2} \leq \frac{|\langle v,f \rangle| \| f \|_{L^2}}{2 \| f \|_{L^2}} = \frac{|\langle v,f \rangle|}{2}.$$

En consecuencia,

$$\langle w,f \rangle \leq \frac{\langle v,f \rangle}{2} < 0$$

que logra la contradicción deseada.

Answer 2

Prueba : Supongamos que $f(x) \ngeq 0$ por cada $x \in \partial \Omega$ .

Si definimos $v(x) := \begin{cases} &~~ 0 ~~~~\text{ if } f(x) \geq 0\\ &-f(x) ~~~~~\text{ if } f(x) < 0 \end{cases}$

entonces se deduce que $v(x) \geq 0$ y $v(x)f(x) \leq 0$ por cada $x \in \partial \Omega$ se puede demostrar fácilmente que $\int_{\partial \Omega}vf d\lambda \leq 0$ . Esto implica que $\int_{\Omega}vf d\lambda = 0$ (ya que suponemos que $\int_{\partial \Omega}vf d \lambda \geq 0$ ) que implica $vf = 0$ por cada $x \in \partial \Omega$ con $v$ definido como arriba. Consideremos un punto $x \in \partial \Omega$ tal que $f(x) < 0$ entonces $v = -f(x)$ . Por lo tanto, $v(x)f(x) = - f^{2}(x) < 0$ pero $v(x)f(x) = 0$ . Contradicción. Por lo tanto $f(x) \geq 0$ por cada $x \in \partial \Omega$ . $\square$

¿Está bien el razonamiento aquí? ¿Hay una forma mejor de demostrarlo? Gracias.