¿Por qué lo siguiente es una solución al sistema?

Question

Tengo lo siguiente en mis notas, pero no recuerdo cómo funciona. Por favor, ayúdenme.

$\nabla^2\psi=0, \quad\psi\to 0\quad\text{as}\quad x^2+y^2\to\infty, \quad\psi (x,y,0)$ es continua

Entonces, utilizando la función de Green, obtenemos que la solución es

$$\psi(x',y',z')={z'\over 2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty [(x-x')^2+(y-y')^2+z'^2]^{-3\over 2}\psi(x,y,0)\,\,\,dxdy\;.$$

(De esta parte estoy seguro).

El cebado $x',y',z'$ son las variables introducidas al utilizar la función de Green $G(\vec{x};\vec{x'})$ .

¿Por qué esto satisface las condiciones de contorno? Estoy pensando que esta solución es equivalente a

$$\psi(x,y,z)={z\over 2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty [(x-x')^2+(y-y')^2+z^2]^{-3\over 2}\psi(x',y',0)\,\,\,dx'dy'\;.$$

¿Pero esto no implica que $\psi(x,y,0)\equiv 0? $ -- Se supone que no es cierto.

Como apunte, ¿las funciones armónicas son siempre esféricamente simétricas?

Además, ¿es posible evaluar realmente esa integral?

Answer 1

Creo que te falta un valor absoluto en el factor $z$ fuera de la integral, o quizás ha omitido una restricción a $z\ge0$ . No puede ser la solución tal y como la has escrito, ya que esta sería una función impar en $z$ y no hay nada en el problema que rompa la simetría entre él y su negativo.

Tienes razón en que estas dos formas de escribir la solución son equivalentes; simplemente has cambiado el nombre de las variables.

El caso $z=0$ tiene que ser tratado como un límite $z\to0$ , ya que $z$ va a $0$ mientras que la integral va a $\infty$ . En el límite $z\to0$ la función de Green tiende a una distribución delta (como debe ser para reproducir los valores de la frontera en $z=0$ ). Se puede ver esto integrando sobre ella con la constante $\psi(x,y,0)$ entonces la integral es siempre $1$ pero el integrando se concentra cada vez más cerca de $x=x'$ , $y=y'$ como $z\to0$ .

No, las funciones armónicas no siempre son esféricamente simétricas. Por ejemplo, la solución que has escrito es una función armónica, y no es esféricamente simétrica.