Demuestra que $I(a,b)=I(a',b')$

Question

Por favor, ayúdenme a resolver este problema:

"Dejemos $a,b,a',b',m,n,r,s$ sean números enteros tales que $m.s-n.r=1$ o $m.s-n.r=-1$ , $a'=m.a+n.b$ y $b´=r.a+s.b$ . Demostrar que $I(a,b)=I(a',b')$ , donde $I$ es el símbolo de un ideal, es decir $I(a,b)=$ $ \left\{ na+mb;m,n \in A \right \}$ , $A$ es un anillo y $I \subset A$ ".

Sé que $I(a,b)=I(b,a)$ y $I(a,b)=I(a,b-ta), t\in A$ .

También sé que

$ra'=rma+rnb$

$mb'=mra+msb$

Lo que implica $b=mb'-ra'$ .

De la misma manera, $nb'=nra+nsb$ y $sa'=sma+snb$ implica $a=sa'-nb'$ .

Entonces, $I(a,b)=I(sa'-nb',mb'-ra')$ pero no puedo ir más allá.

Answer 1

Sugerencia $\ \ \left[\matrix{a'\\ b'}\right] = \left[\matrix{m & n\\ r & s}\right] \left[\matrix{a\\ b}\right] \,\Rightarrow\, a',b'\,\in I(a,b)\,\Rightarrow\, I(a',b')\subseteq I(a,b)$

El determinante $=\pm1\,$ es invertible por lo que, por Cramer, podemos resolver para $\,a,b\,$ como $R$ -combinación lineal de $\,a',b',\,$ por lo que un argumento similar produce la contención inversa $\,I(a,b)\subseteq I(a',b')$

Esto se generaliza claramente para mostrar que los ideales son preservados por tales transformaciones lineales con determinante imvertible (unidad), es decir, por unimodular transformaciones de sus generadores (base).

Nota general $\,\ (a_1,\ldots,a_j) \subseteq (b_1,\ldots,b_k)\iff a_1,\ldots,a_j \in (b_1,\ldots,b_k)\iff $

$$\iff \begin{bmatrix} a_1\\ \vdots\\ a_j\end{bmatrix}\,=\,\begin{bmatrix}c_{11} &\ldots &c_{1k}\\ \vdots &\ddots & \vdots\\ c_{j1}&\ldots &c_{jk} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_1\\ \vdots\\ b_k\end{bmatrix}\ \ \text{for some }\ c_{i,j}\in R$$