El problema es demostrar que si $\mathfrak{p}\ne 0$ es un ideal primo de
$\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]=R$ y denotamos $S=\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-3}}{2}]$ entonces tenemos $R\subset S$ y para las localizaciones $R_{\mathfrak{p}}\subset S_{\mathfrak{p}}$ y $R_{\mathfrak{p}}=S_{\mathfrak{p}}$ si $\mathfrak{p}$ no contiene $2$ .
La inclusión sigue siendo cierta, ya que la inyectividad es una propiedad local. En cuanto a la igualdad, creo que la intuición está clara, pero tengo problemas con los detalles. Si $2\not \in \mathfrak{p}$ entonces se invierte, y no hay diferencia entre $R$ y $S$ y todo lo demás se invierte en este punto. Me imagino que probablemente haya más cosas que decir. ¿Cómo puedo completar los detalles?
Para contextualizar el problema: la primera parte consistía en demostrar que $S$ se genera finitamente como un $R$ módulo, que es claro como $S$ está generada finitamente como $\mathbb{Z}$ módulo, $\frac{1+\sqrt{-3}}{2}$ siendo integral sobre $\mathbb{Z}$ . La parte final consiste en demostrar que $S$ no es un piso $R$ que aún no he abordado.
Gracias de antemano por cualquier ayuda.
