En esta respuesta, voy a utilizar $Q$ en lugar de $q$ para la carga del condensador.
Sólo hay una regla segura para encontrar Lagrangianos: El lagrangiano se elige para obtener las ecuaciones de movimiento correctas.
Nunca lo olvides. En el caso de un problema de circuito, la forma más segura de saber que tienes el Lagrangiano correcto es ver si te da las ecuaciones de movimiento correctas, es decir, las ecuaciones que obtienes de las leyes de Kirchhoff.
El principio de Hamilton
¿Se puede aplicar aquí el principio de Hamilton?
Empecemos escribiendo las leyes de Kirchhoff para el circuito LC. Elige la orientación de la corriente para que fluya hacia el inductor como se muestra. Entonces la regla de la corriente de Kirchhoff y la definición de un inductor dicen $$ I = -\dot{Q} \qquad \dot{I} = V/L$$ donde $Q$ es la carga del condensador y $V$ es la tensión en el condensador y el inductor. La regla para un condensador es $CV = Q$ por lo que podemos reescribir la segunda ecuación como $$\dot{I} = Q / LC \, .$$ Diferenciando la primera ecuación se obtiene $$ \dot{I} = - \ddot{Q}$$ que se conecta a la línea anterior para obtener $$\ddot{Q} = - Q/LC \, .$$ Definición de $\omega_0^2 = 1/LC$ tenemos ahora la ecuación habitual para un oscilador armónico $$\ddot{Q} = -\omega_0^2 Q \, . $$ Esa es la ecuación de movimiento de la carga en un oscilador LC. Ahora veamos si la lagrangiana propuesta por el autor da la misma ecuación si utilizamos las ecuaciones de Euler Lagrange (también conocido como principio de Hamilton). La lagrangiana es $$ \mathcal{L} = \frac{L \dot{Q}^2}{2} - \frac{Q^2}{2C}$$ por lo que las ecuaciones de Euler Lagrange son \begin{align} \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{Q}} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial Q} =& 0 \\ \frac{d}{dt} \left(L \dot{Q} \right) + \frac{Q}{C} =& 0 \\ L \ddot{Q} + \frac{Q}{C} =& = 0 \\ \ddot{Q} = - \frac{Q}{LC} = - \omega_0^2 Q \, . \end{align} El resultado del principio de Hamilton coincide con el resultado de las leyes de Kirchhoff, así que sí, el principio de Hamilton es aplicable aquí.
Energía cinética y potencial
Si es así, ¿por qué la parte de la energía cinética $L \dot{Q}^2 / 2$ ?
En sentido estricto, la parte de energía cinética del Lagrangiano es $L \dot{Q}^2 / 2$ porque funciona para dar las ecuaciones de movimiento correctas y eso es lo único que realmente importa en la mecánica lagrangiana. Sin embargo, otra forma de ver la Lagrangiana del oscilador LC es simplemente notar que cada término es la energía del condensador y del inductor respectivamente. La energía de un condensador con carga $Q$ y la capacitancia $C$ es $Q^2 / 2C$ . El autor optó por llamarlo energía potencial. La energía de un inductor con corriente $I$ y la inductancia $L$ es $LI^2/2$ . Utilizando $I = \dot{Q}$ obtenemos que la energía del inductor es $L\dot{Q}^2/2$ que es lo que el autor utilizó para la energía cinética.
Por lo tanto, puedes razonar que el autor simplemente identificó los dos tipos de energía en el circuito, llamó a una "cinética" y a la otra "potencial" y adivinó el Lagrangiano de esa manera.
Lagrangianos más generales en el contexto de los circuitos
Muchos de nosotros aprendemos por primera vez sobre los lagrangianos en el contexto de una partícula física que se mueve en un campo potencial. En ese caso particular, el lagrangiano es siempre $\mathcal{L} = T-V$ pero eso está lejos de ser la forma más general de un Lagrangiano. ¿Qué ocurre, por ejemplo, si tenemos dos sistemas conectados entre sí, como dos partículas conectadas por un muelle o dos circuitos LC conectados a través de un condensador?
Resulta que en realidad existe una receta para encontrar Lagrangianos más complejos sin necesidad de adivinar. Esa receta se describe, por ejemplo, en este artículo de Michel Devoret . El artículo es una reescritura de un famoso conjunto de notas del curso de la escuela de verano de Les Houches(pdf) hecho para corregir una serie de errores y aclarar algunos puntos. No se desanime por la palabra "quantum" en el título. Gran parte de la discusión es puramente física clásica.
Los inductores también almacenan temporalmente energía potencial en el campo magnético. ¿Por qué no consideramos ese término?
Como se acaba de explicar, lo hacemos, y es lo que el autor llamó la energía "cinética".
