Los elementos (no) nulos en una matriz A del DSP conducen a elementos (no) nulos en L, donde L es la matriz de descomposición de Cholesky.

Question

Dada una matriz SPD $A$ y la descomposición de Cholesky $A = LL^T$ .

Demostrar que $A(i,j) = 0$ significa que $L(i,j) = 0$ y que $A(i,j) \neq 0$ significa que $L(i,j) \neq 0$

Llevo demasiado tiempo trasteando con las fórmulas que determinan los elementos de la matriz L. He pensado en demostrarlo por inducción y por contradicción pero nada ha funcionado. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Esto no es cierto. Considere $$ A=LL^T=\pmatrix{ 1&1&-1&1\\ 1&2&0&1\\ -1&\color{red}{\mathbf0}&3&0\\ 1&\color{forestgreen}{\mathbf1}&0&3}\ \text{ where } \ L=\pmatrix{ 1&0&0&0\\ 1&1&0&0\\ -1&\color{red}{\mathbf1}&1&0\\ 1&\color{forestgreen}{\mathbf0}&1&1}. $$ Sin embargo, es cierto que si $A$ es a la vez positiva y definida positivamente y se trata de las entradas de $L$ en la parte triangular inferior.