Demostrar que $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {n^{ - 1}}E\left( {\frac{1}{X}{1_{[X > {n^{ - 1}}]}}} \right) = 0$ .

Question

Tengo que demostrar que $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {n^{ - 1}}E\left( {\frac{1}{X}{1_{[X > {n^{ - 1}}]}}} \right) = 0$ siendo X una variable aleatoria no negativa que satisface $P[0 \le X \le \infty]=1$ .

Intento de esta manera, para cualquier $\varepsilon>0$ que tenemos:

$E\left( {\frac{1}{X}{1_{[X > {n^{ - 1}}]}}} \right) = E\left( {\frac{1}{{Xn}}{1_{[1 > \frac{1}{{nX}} > \varepsilon ,X > 0]}}} \right) + E\left( {\frac{1}{{Xn}}{1_{[\varepsilon \ge \frac{1}{{nX}} > 0,X > 0]}}} \right)=A+B$ .

Así que,

$A\le P[1 > \frac{1}{{nX}} > \varepsilon ,X > 0] \to 0$ ,

pero, sobre la B, estoy un poco confundido, ¿podría alguien ayudarme?

Answer 1

Así que $\dfrac{1}{n}1_{[X>1/n]}\rightarrow 0$ y que $\dfrac{1}{n}\dfrac{1}{X}1_{[X>1/n]}\leq 1$ , el teorema de convergencia dominante de Lebesgue da el resultado.