Factorización de un polinomio de grado 4 que tiene raíces complejas

Question

Mientras trabajaba en ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes me encontré con la siguiente ecuación auxiliar: $r^4 - 4r^3 + 9r^2 - 10r + 6 = 0$ .

Inicialmente intenté el método de acierto y error para valores reales comunes de r. Eso no funcionó. La respuesta del libro muestra que esta ecuación sólo tiene raíces complejas.

¿Cómo hago para factorizar esta ecuación?

Answer 1

Es un factor como producto de dos cuadráticas. Si se establece $$r^4 - 4r^3 + 9r^2 - 10r + 6 = (r^2 + ar + b)(r^2 + cr + d),$$ iguale el coeficiente correspondiente y resuelva, obtendrá $$r^4 - 4r^3 + 9r^2 - 10r + 6 = (r^2 - 2r + 2)(r^2 - 2r + 3).$$

Answer 2

Una pista: Fíjate bien en la cuarta fila de El triángulo de Pascal : ¿Qué notas? Spoilers a continuación:

Completando la cuádrica, tenemos $(x-1)^4+3x^2-6x+5=(x-1)^4+3(x-1)^2+2$ . Ahora dejemos que $t=(x-1)^2$ y luego resolver o factorizar la cuadrática.

Answer 3

En Maxima CAS :

$$factor(r^4−4*r^3+9*r^2−10*r+6);$$

da :

$$(r^2−2*r+2)*(r^2−2*r+3)$$