independencia de los objetos aleatorios al formar espacios de productos

Question

Supongamos que tenemos dos espacios de probabilidad $(\Omega_1, \mathscr{F}_1, \{\mathcal{F}^1_t\},\mathbb{P})$ y $(\Omega_2, \mathscr{F}_2, \{\mathcal{F}^2_t\},\mathbb{P}_2)$ , si tomamos el espacio del producto $$\Omega = \Omega_1 \times \Omega_2, \quad \quad \mathscr{F} = \mathscr{F}_1 \otimes \mathscr{F}_2$$ $$\mathcal{F}_t = \underset{s>t}{\cap}\mathcal{F}^1_t \otimes \mathcal{F}^2_t,\ \ \forall t\geq 0, \quad \mathbb{P} = \mathbb{P}_1 \times \mathbb{P}_2.$$

Si $X_1$ y $X_2$ son objetos aleatorios (variables, procesos estocásticos adaptados, etc.) que se definen en $(\Omega_1, \mathscr{F}_1, \{\mathcal{F}^1_t\},\mathbb{P})$ y $(\Omega_2, \mathscr{F}_2, \{\mathcal{F}^2_t\},\mathbb{P}_2)$ respectivamente. Si ampliamos naturalmente las definiciones de $X_1$ y $X_2$ como $X_1(\omega_1,\omega_2) = X_1(\omega_1)$ y $X_2(\omega_1,\omega_2) = X_2(\omega_2)$ . Podemos decir $X_1$ y $X_2$ son independientes de $(\Omega, \mathscr{F}, \{\mathcal{F}_t\},\mathbb{P})$ automáticamente debido a la construcción de espacios de productos?

Answer 1

Sí, sólo hay que computar para $A \in \mathcal{F}_1$ $B \in \mathcal{F}_2$

$$\Bbb{P}[X_1(\omega_1,\omega_2) \in A, X_2(\omega_1,\omega_2)\in B)] = \Bbb{P}[X_1(\omega_1) \in A, X_2(\omega_2)\in B)] = \Bbb{P}[\omega_1 \in X_1^{-1}(A), \omega_2\in X_2^{-1}B)] =\Bbb{P}_1[\omega_1 \in X_1^{-1}(A)] \Bbb{P}_2[\omega_2\in X_2^{-1}B)] = \Bbb{P}[X(\omega_1,\omega_2) \in A]\Bbb{P}[X(\omega_1,\omega_2) \in B] $$

Se puede ver que la independencia se desprende de la estructura de la construcción del espacio del producto.