¿Existe un sistema continuo de $f$ tal que $f(0)=f(1)=\int_0^1 f(x)dx = \int_0^1 x^n f(x) dx = 0$ y $\int_0^1 (1-x)^n f(x) dx \neq 0$ para algunos $n$

Question

Me gustaría encontrar (o demostrar que no es posible) una función continua $f$ definido en $[0,1]$ satisfaciendo $$f(0)=f(1)=\int_0^1 f(x) dx = 0$$ y tal que para algunos entero positivo $n$ tenemos $$\int_0^1 x^n f(x) dx = 0 \qquad \text{and} \qquad \int_0^1 (1-x)^n f(x) dx \neq 0.$$

Desde $$0 = \int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 xf(x) dx + \int_0^1 (1-x)f(x) dx,$$ se deduce que $\int_0^1 xf(x)dx$ y $\int_0^1 (1-x)f(x)dx$ son ambos o ninguno cero. Por lo tanto, $n$ debe ser como mínimo $2$ .

Answer 1

Consideremos el polinomio $f(x)=x(x-1)(1+ax+bx^2+cx^3)$ entonces $f(0)=f(1)=0$ . Para un número entero dado $n\geq 2$ resolver el siguiente sistema lineal con respecto a los coeficientes $a,b,c$ , $$\begin{cases}\int_0^1 f(x) dx = 0\\ \int_0^1 x^n f(x) dx = 0\\ \int_0^1 (1-x)^n f(x) dx=1 \end{cases}$$ Se puede demostrar que el sistema anterior tiene una solución única.