¿Se conoce o es posible una demostración "no analítica" del teorema de Dirichlet sobre los primos?

Question

Es bien sabido que se pueden demostrar ciertos casos especiales del teorema de Dirichlet exponiendo un polinomio entero $p(x)$ con las propiedades de que los divisores primos de $\{ p(n) | n \in \mathbb{Z} \}$ debe estar en ciertas progresiones aritméticas, con un número finito de excepciones. Esto se debe a que cualquier polinomio no constante debe tener infinitos divisores primos distintos, lo que se puede demostrar imitando la prueba de Euclides de la infinitud de los primos. Por ejemplo, tomando $p(x) = \Phi_n(x)$ podemos demostrar el teorema de Dirichlet para los primos congruentes a $1 \bmod n$ . Se sabe (véase, por ejemplo, este documento de K. Conrad) que esto es posible precisamente para los primos congruentes con $a \bmod n$ donde $a^2 \equiv 1 \bmod n$ .

Sin embargo, el resultado sobre los polinomios que tienen infinitos divisores primos tiene la siguiente generalización: cualquier secuencia $a_n$ de enteros que eventualmente es monotónicamente creciente y que crece más lentamente que $O(2^{\sqrt[k]{n}})$ para cada número entero positivo $k$ tiene infinitos divisores primos distintos. En particular, cualquier secuencia de crecimiento polinómico (no necesariamente un polinomio en sí) tiene esta propiedad.

Pregunta 1: Dada una progresión aritmética $a \bmod n, (a, n) = 1$ tal que $a^2 \not \equiv 1 \bmod n$ ¿es todavía posible eficientemente construir una secuencia monotónicamente creciente de enteros positivos que satisfaga la condición de crecimiento anterior, de manera que, con un número finito de excepciones, los divisores primos de cualquier elemento de la secuencia sean congruentes con $a \bmod n$ ? ("Eficientemente" descarta respuestas como "los enteros positivos divisibles por primos congruentes a $a \bmod n$ ya que no creo que sea posible escribir esta secuencia de manera eficiente. En cambio, evaluar un polinomio es muy eficiente). La idea es que tal secuencia da inmediatamente una demostración del teorema de Dirichlet para los primos congruentes a $a \bmod n$ generalizando las pruebas al estilo de Euclides.

Pregunta 2: Si lo anterior no es posible, ¿hay alguna técnica conocida para demostrar el teorema de Dirichlet o al menos algunos de los casos especiales no contemplados anteriormente sin recurrir a la maquinaria analítica habitual? Por ejemplo, Selberg publicó una demostración "elemental" en 1949, pero se basa en la demostración "elemental" del teorema de los números primos, que para mí es "maquinaria analítica finita". ¿Cuál es la cantidad mínima absoluta de análisis necesaria para producir una demostración? (Edición: En respuesta a una sugerencia en los comentarios, una forma de describir el tipo de respuesta que estoy buscando es que se generalizaría a una demostración del teorema de la densidad de Chebotarev que muestra muy claramente dónde está la distinción entre los casos del campo de números y del campo de funciones; aparte de algún argumento analítico "esencial" no debería haber ninguna diferencia entre los dos).

Esta pregunta se inspira, al menos en parte, en la siguiente observación: El teorema de Dirichlet es equivalente a la afirmación aparentemente más débil de que para toda progresión $a \bmod n, (a, n) = 1$ existe al menos uno primo congruente con $a \bmod n$ . La razón es que si existe algún primo de este tipo $a_1$ , dejando entonces que $n_1$ sea el menor múltiplo de $n$ mayor que $a_1$ existe un primo congruente con $a_1 + n \bmod n_1$ y así sucesivamente.

Answer 1

La pregunta de si hay infinitos primos en alguna clase de residuos coprima mod m es más fuerte que la pregunta de si hay infinitos primos con un índice de inercia dado en el campo de mth raíces de la unidad, que es un caso especial de la densidad de Chebotarev. La posibilidad de pruebas elementales de esta última se discutió, como sabes, sobre aquí .

Parece que la técnica de Dirichlet es perfectamente natural para este tipo de cuestiones. Antes de empezar a utilizar las ideas de Euler sobre las funciones zeta, jugó con el enfoque de Legendre (Legendre había intentado demostrar el resultado en su 2ª edición de su Théorie des nombres, ya que había utilizado casos especiales en su "demostración" de la ley de reciprocidad cuadrática), pero sin éxito.

Otro intento de dar una prueba "elemental" fue realizado por Italo Zignago:

• J. Zignago, En torno a un teorema aritmético (italiano), Annali di Mat. 21 (1893), 47-55

Sin embargo, su prueba era incorrecta.

Por cierto, la pregunta 1 se remonta a la correspondencia de Euler y Goldbach; ellos intentaron (en vano) encontrar una secuencia de números divisibles sólo por primos de la forma $4n+3$ . Finalmente, Euler se convenció de que las formas cuadráticas $x^2 + my^2$ no lo hará.

Answer 2

Para más información sobre el resultado de Murty de que el enfoque elemental habitual está condenado al fracaso, consulte el artículo de Paul Pollack Hipótesis H y un teorema de imposibilidad de Ram Murty ( La máquina del retroceso ). Allí muestra que una conjetura comúnmente creída implica una generalización del resultado de Murty a un tipo más amplio de prueba euclidiana.

Answer 3

Estaba luchando por encontrar una demostración elemental del teorema de Dirichlet utilizando otra técnica interesante. Finalmente llegué a una demostración desde una dirección totalmente diferente, pero como descubrí Erdos llegó primero antes de muchos años. La prueba no es muy conocida (¡nunca he entendido por qué nadie la menciona!) y utiliza estimaciones de tipo Chebyshev. Aquí está la prueba: http://kam.mff.cuni.cz/~klazar/ln_antcII.pdf ( La máquina del retroceso ) Espero que esto sea útil.

Buscamos números primos de la forma $a+nm$ . $(a,m)=1,n=1,2,...$

El plan general es: $n!$ divide el producto de $n$ términos consecutivos de la progresión aritmética $a+m$ , $a+2m$ , $...,$$ a+nm $ with $ (a,m)=1 $ (if we disregard the factor of $ ¡n! $ which includes divisors of $ m$)

Por ejemplo, considere la progresión $1+3m$ :

$4\cdot7\cdot10\cdot13\cdot16\cdot19\cdot22$ se divide por $7!/3^2$ (El factor que "no tenemos en cuenta" es $3^2$ )

Es fácil demostrar por analogía con el lema de Legendre a coeficientes binomiales, que la mayor potencia de un primo $p$ que divide $\frac{(a+m)\cdot(a+2m)...\cdot(a+nm)}{n!}$ no supera $a+nm$ .

El problema es que tal prima $p$ podría no ser de la forma que se desea.Por ejemplo volviendo a $\frac{4\cdot7\cdot10\cdot13\cdot16\cdot19\cdot22}{7!/3^2}$ encontramos 11 como divisor que es un primo de la forma $2+3m$ .

Queremos simplificar los primos no deseados de la fracción "grande" que Erdos llama $Pn(a,m)$ . Para ello dividimos $Pn(a,m)$ con una fracción del mismo tipo pero de otra progresión $a'+nm$ con $(a',m)=(a,m)=1$ .

(La "otra" progresión para $1+3m$ es $2+3m$ ya que sólo 1 y 2 son los únicos números coprimos a 3 y menores que 3).

Pero encontramos que en $Pn(a,m)$ todo primo de la forma $a'+km$ que es mayor que $n$ existe exactamente una vez, así que (y aquí está la gran idea) dividiendo $Pn(a,m)$ con $P(n/h)(a',m)$ ( $h$ es el número con la propiedad $a'h=a \pmod m$ ) todo primo de la forma $a'+km$ que es mayor que $n$ cancela.

Siguiendo así se pueden cancelar todos los primos no útiles que superen a n y tener sólo "pequeños" primos no útiles cuyo producto sea significativamente menor que $Pn(a,m)$ .

Con esto, se demuestra que los primos de la forma $a+nm$ tienen un producto que tiende a infinito y por tanto son infinitas.

Espero que esto sea útil.

(nota)Utilizamos $h$ porque el término más pequeño de la progresión $a+nm$ que se divide por un primo $p$ de la forma $a'+km$ es el término $a+km=h\cdot p$ .