Gradiente distinto de cero extensiones de un campo de vectores en el círculo

Question

Deje $\mathbf{v}=(a,b)$ ser suave, un campo de vectores en el círculo unidad $\mathbb{S}^{1}$ tal que $a^{2}+b^{2}\neq0$ todas partes en $\mathbb{S}^{1}$ con el grado $\deg\mathbf{v}=0$. Supongamos también que $\int\limits_{\mathbb{S} ^{1}}\mathtt{dx}+b\mathtt{dy}=0$. Mi pregunta es si el campo $\mathbf{v}$ puede ser extendido a un valor distinto de cero vector gradiente de campo $\overline {\mathbf{v}}=(a,B)$ on the unit disk $\mathbb{D}$, es decir, si existen las funciones lisas $A=A(x,y)$, $B=B(x,y)$, $\ (x,y)\in\mathbb{D}$, tal que $A|_{\mathbb{S}^{1}}=a$, $B|_{\mathbb{S}^{1}}=b$, $A^{2}+B^{2}\neq0$ en todas partes en $\mathbb{D}$ y, finalmente, $\frac{\partial B}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial y}$ in $\mathbb{D}$.

Permítanme hacer algunos comentarios.

1. La condición de $\deg\mathbf{v}=0$ es necesario, para el campo $\mathbf{v}$ tener un distinto de cero en todas partes de la extensión en la unidad de disco. El grado es se define como por lo general como el grado de $\mathbf{v}\left\Vert \mathbf{v} \right\Vert $ considered as a map $\mathbb{S}^{1}\rightarrow\mathbb{S}^{1}$.

2. La condición de $\int\limits_{\mathbb{S}^{1}}a\mathtt{dx}+b\mathtt{dy}=0$ es también es necesario para $\mathbf{v}$ tener un gradiente de extensión de $\overline {\mathbf{v}}$, como sigue por el Verde del Teorema.

3. Supongo que esta proposición debe tener algunos de los elegantes de la prueba (si es verdad :)) y puede ser, probablemente, algo muy conocido, pero tengo sólo algunos ejemplos, no prueba. Así, todas las referencias son bienvenidos también. Tenga en cuenta también que esto es de alguna manera un "global" de la proposición, no de un "local". Gracias de antemano.

Answer 1

EDIT: Mi respuesta original es el mal-me dirigí un poco diferente de la pregunta.

Originalmente escribí, "Si aún están interesados en la cuestión, me permito sugerir la reformulación un poco como dos preguntas diferentes." Eso no es realmente correcto. Aquí están las dos preguntas que me sugirió originalmente:

(1) Supongamos que tenemos un vector gradiente de campo de una función de $f$ sobre el disco, $\nabla f$ no desapareciendo en la frontera y de grado $0$. A continuación, puede deformar la función de $f$, manteniendo constante cerca de la frontera del disco, de modo que no tiene puntos críticos.

(2) Supongamos que usted tiene una 1-forma $\alpha = adx + b dy$, definido en el límite de la disco, la satisfacción de $\int_{S^1} \alpha = 0$. A continuación, puede extender $\alpha$ a un cerrado de 1-forma en el disco. Por tanto, esta es exacta ya que estamos en el disco. Luego, por supuesto, tomando el vector dual campo, estamos en la configuración se aplique (1).

El problema es que el punto (1) en realidad no abordar la cuestión de mantener el gradiente de $f$ fija en el límite. Eso no es realmente posible, como Jim Belk muestra el ejemplo de la ... su gradiente definido a lo largo de los puntos de límite hacia el interior en el límite máximo, mostrando que no debe ser un interior de max que no podemos deformar de distancia.

El argumento boceto de abajo nos permite mantener los valores de la función fija a lo largo de la frontera, pero nos obliga a dejar el gradiente de cambio.

Con estas salvedades ahora, el resto de lo que he escrito antes es la correcta, así que voy a dejar al menos hasta que tenga tiempo para ilustrar la diferencia entre los dos problemas.

Yo probaría (1) mediante el uso de un Morse punto crítico de la cancelación. En primer lugar, perturban $f$, de modo que tiene de no-degenerada puntos críticos.
Entonces, debido a que el grado de $\nabla f$ es cero, la suma de los grados calculado en un pequeño círculo alrededor de cada cero de $\nabla f$ $D$ también es cero. Ahora tenga en cuenta que en un local de mínimo o un máximo local, el título correspondiente es $+1$ y en una silla de montar, el grado es $-1$. Esto significa que se puede emparejar a cada uno de {min o max} con una silla de montar y, a continuación, cancelar pares.
No puede ser más fácil de la prueba, pero yo no puedo pensar en nadie ahora mismo.

Yo probaría (2) por primera ampliación de $\alpha$ a cualquier 1-forma en el disco. Para hacer nuestra vida más fácil, más tarde, extender $\alpha$ a un cerrado $1$-forma en un barrio de el círculo. Esto se puede hacer fácilmente en coordenadas polares cerca del círculo. Ahora se extienden a la disco por una arbitraria 1-forma. Llamar a esta extensión de $\beta$. (Tenga en cuenta que podemos hacer esto sin ningún tipo de condición en $\alpha$.)

Ahora, queremos mostrar que $d\beta = d \nu$ $1$forma $\nu$ con soporte compacto. Podemos escribir $d\beta = g dx \wedge dy$. La función de $g$, entonces tiene soporte compacto en el interior del disco. Ahora hay un par de maneras de demostrar que existe una forma compacta compatible 1 formulario a- $\nu$ con la propiedad deseada.

(Una de ellas es la que muestra la vinculación entre de Rham cohomology con soporte compacto en el disco y la homología de $D^2$ rel su límite es no degenerada... lo $d\beta$ representa el $0$ clase en forma compacta compatible de Rham cohomology, y por lo tanto es exacta. Otra es por la resolución de $\Delta u = g$ en el disco con la condición de contorno $u=0$. Entonces (modulo un signo de pregunta) tome $\nu = du \circ i$ donde $i$ es el estándar de estructura compleja en el disco. Estoy seguro de que hay una manera más sencilla, con la mano. Lamentablemente no tengo tiempo para pensar en la búsqueda de ahora.)

Answer 2

No, no todos los vectores de campo de este formulario puede ser extendido en la forma que usted desea. En particular, a veces es posible ver desde el campo de vectores que no debe ser un interior de punto crítico.

Por ejemplo, considere el campo vectorial $\mathbf{v}$ $\mathbb{S}^1$ definido por $$ \mathbf{v}(\theta) \;=\; \bigl(\sin \theta + 2\pecado 2\theta \bigr)\,\mathbf{t}(\theta) \,+\, \bigl(1+2\cos\theta\bigr)\,\textbf{n}(\theta), $$ donde $\mathbf{t}(\theta) = (-\sin\theta,\cos\theta)$ es la izquierda la unidad de vector tangente, y $\mathbf{n}(\theta) = (\cos\theta,\sin\theta)$ es el exterior, señalando vector normal. Aquí está una foto de este campo vectorial:

Es fácil comprobar que el grado de este campo vectorial es cero, y es evidente a partir de la vertical de simetría que $\displaystyle\oint_{\mathbb{S}^1} \!a\,dx+b\, dy = 0$.

Ahora supongamos que $\mathbf{v}$ es la restricción del círculo unidad de la gradiente de una función $f\colon\mathbb{D}\to\mathbb{R}$. Utilizando el Gradiente de Teorema, podemos calcular la restricción de $f$ a del círculo unidad: $$ f(\cos\theta,\sin\theta) \;=\; \int \bigl(\sin\theta + 2\pecado 2\theta\bigr)\,d\theta \;=\; -\cos\theta \cos 2\theta + C. $$ Aquí está una parcela de $f$ sobre el círculo unidad, asumiendo $C=0$:

Ahora, observa que:

1. El mínimo absoluto de $f$ $\mathbb{S}^1$ se produce cuando $\theta=0$, es decir, en el punto de $(1,0)$.

2. En el punto de $(1,0)$, el vector gradiente $\textbf{v}$ puntos directamente a la derecha.

Por lo tanto, si $p = (1-\epsilon,0)$ es un punto ligeramente a la izquierda de $(1,0)$, entonces el valor de $f$ $p$ es menor que el valor de $f$ cualquier lugar en el círculo unidad. Por lo tanto, $f$ obtiene su mínimo en algún lugar en el interior de la unidad de disco, por lo $f$ debe tener un punto crítico.