Ejemplos reales de procesos de media móvil

Question

¿Puede dar algunos ejemplos reales de series temporales para las que un proceso de media móvil de orden $q$ es decir $$ y_t = \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i} + \varepsilon_t, \text{ where } \varepsilon_t \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) $$ tiene algunos a priori ¿para ser un buen modelo? Al menos para mí, los procesos autorregresivos parecen ser bastante fáciles de entender intuitivamente, mientras que los procesos MA no parecen tan naturales a primera vista. Tenga en cuenta que estoy no interesado en los resultados teóricos aquí (como Teorema de Wold o invertibilidad).

Como ejemplo de lo que estoy buscando, suponga que tiene rendimientos diarios de las acciones $r_t \sim \text{IID}(0, \sigma^2)$ . Entonces, los rendimientos medios semanales de las acciones tendrán una estructura MA(4) como un artefacto puramente estadístico.

Answer 1

Una causa muy común es la especificación errónea. Por ejemplo, dejemos que $y$ ser ventas de comestibles y $\varepsilon$ ser un no observado (para el analista) campaña de cupones que varía en intensidad a lo largo del tiempo. En cualquier momento, puede haber varias "cosechas" de cupones circulando a medida que la gente los usa, los tira y recibe otros nuevos. Los choques también pueden tener efectos persistentes (pero que se debilitan gradualmente). Por ejemplo, las catástrofes naturales o simplemente el mal tiempo. Las ventas de pilas suben antes de la tormenta, luego caen durante, y después vuelven a subir cuando la gente se da cuenta de que los kits para desastres pueden ser una buena idea para el futuro.

Del mismo modo, la manipulación de los datos (como el suavizado o la interpolación) puede inducir este efecto.

También tengo "el comportamiento inherentemente suave de los datos de las series temporales (inercia) puede causar $MA(1)$ " en mis notas, pero esa ya no tiene sentido para mí.

Answer 2

Supongamos que produces un bien, almacenas una parte y vendes el resto. Su producción en el período de tiempo $t$ es $x_t=m+\varepsilon_t$ con $\mathbb{E}(\varepsilon_t)=0$ y sus acciones son $y_t$ . La secuencia de $\varepsilon$ s es i.i.d. A $1-\theta$ fracción de la producción del periodo se vende durante el siguiente periodo, y el resto $\theta$ durante la siguiente. Entonces su reserva es \begin{aligned} y_t&=x_t+\theta_1x_{t-1} \\ &=\mu+\varepsilon_t+\theta_1\varepsilon_{t-1}, \end{aligned} donde $\mu=(1+\theta_1)m$ . Así, $y_t$ sigue un proceso MA(1).

Si se tarda más tiempo ( $q+1$ períodos en lugar de $2$ períodos) para vender la producción de un período, se tendría un proceso MA(q).

Answer 3

En nuestro artículo Escalado de la volatilidad de la cartera y cálculo de las contribuciones al riesgo en presencia de series correlaciones cruzadas analizamos un modelo multivariante de los rendimientos de los activos. Debido a las diferentes horas de cierre de las bolsas aparece una estructura de dependencia (por la covarianza). Esta dependencia sólo se mantiene durante un período. Por lo tanto, lo modelamos como un proceso de media móvil vectorial de orden $1$ (ver páginas 4 y 5).

El proceso de cartera resultante es una transformación lineal de un $VMA(1)$ proceso que en general es un $MA(q)$ proceso con $q\ge1$ (ver detalles en las páginas 15 y 16).

Answer 4

Los errores de previsión consecutivos de múltiples pasos de las previsiones óptimas serán procesos MA.

Por ejemplo, supongamos que el proceso de generación de datos es un paseo aleatorio: $X_t=X_{t-1}+\varepsilon_t$ donde $\varepsilon_t\sim\text{i.i.d.}(0,\sigma_\varepsilon^2)$ . Si usted está en el momento $t$ predecir el valor del proceso en el momento $t+3$ la previsión óptima es $X_t$ . Por lo tanto, el error de previsión es $e_{t+3|t}=X_{t+3}-X_t=\varepsilon_{t+3}+\varepsilon_{t+2}+\varepsilon_{t+1}$ . Si se repite el ejercicio de previsión en el tiempo $t+1$ , tienes la predicción óptima $X_{t+1}$ y el error de previsión $e_{t+4|t+1}=X_{t+4}-X_{t+1}=\varepsilon_{t+4}+\varepsilon_{t+3}+\varepsilon_{t+2}$ .

Ahora $e_{t+3|t}$ y $e_{t+4|t+1}$ estarán correlacionadas (positivamente) porque comparten dos elementos, $\varepsilon_3$ y $\varepsilon_2$ . De la misma manera, $e_{t+3|t}$ y $e_{t+5|t+2}$ estarán correlacionadas (positivamente) porque comparten un elemento $\varepsilon_3$ . $e_{t+3|t}$ y $e_{t+6|t+3}$ sin embargo, no estarán correlacionadas porque no hay ningún elemento compartido y $\varepsilon_t$ es una secuencia i.i.d.

El hecho de que las autocorrelaciones se corten abruptamente después de varios períodos es característico de los procesos MA. De hecho, no es difícil demostrar que la secuencia de errores de previsión consecutivos de 3 pasos por delante $(e_{t+3|t},e_{t+4|t+1},e_{t+5|t+2},\dots)$ es un proceso MA(2). En general, al predecir $h$ pasos adelante, los errores consecutivos de una previsión óptima forman un MA( $q$ ) con $q\leq h-1$ . (El valor exacto $q$ depende de la memoria del proceso que se está pronosticando. Para un paseo aleatorio, $q=h-1$ para algunos procesos con poca memoria, $q<h-1$ . Para un proceso sin memoria, $q=0$ .)

Los procesos de errores de previsión consecutivos de varios pasos son comunes. Se ven en macroeconomía (previsiones a largo plazo del PIB, la inflación, el desempleo, etc.), en finanzas (previsiones de la rentabilidad de los activos, los tipos de cambio, etc.) y en otros ámbitos. Aunque casi ninguna de las previsiones es óptima, algunas se acercan a ello, y sus errores de previsión se asemejan bastante a los procesos MA. Un ejemplo podría ser la previsión de las comillas diarias de las acciones basada en la caminata aleatoria, tal y como se ha detallado anteriormente.

Answer 5

Es cierto que los procesos MA son más difíciles de explicar a los usuarios que los procesos AR. Sin embargo, son muy omnipresentes. El tipo de proceso MA más común que no conocías es un filtro de paso bajo.

Las versiones activas serían un mando de "AGUDOS" en el equipo de música del coche, o un mando de control de tono en la guitarra.

Así es como el RC pasivo más primitivo circuito en serie obras. En las frecuencias altas integra : $$V_C \approx \frac{1}{RC}\int_{0}^{t}V_\mathrm{in}\,dt\,,$$ Debería reconocer la versión de tiempo continuo del proceso MA en esta ecuación. La razón por la que esto ocurre es porque la impedancia del condensador cambia con la frecuencia de entrada.

El filtro se llama de paso bajo porque a bajas frecuencias no integra y los deja pasar tal cual: $$V_\mathrm{in} \approx V_C$$