Describa los intervalos en los que $f_n(x)$ converge uniformemente

Question

El problema: $f_n(x) = \frac{6}{(1+x^{2n})}$ y $x\in\mathbb{R}$ .

Encontrar todos los números reales $x$ donde $f_n(x)$ converge y describe la función límite.

Encontré que la función límite es $$f(x)=\begin{cases}0&\text{ if }|x|>1,\\ 6&\text{ if }0 \leq |x| < 1,\\ 3&\text{ if }|x| = 1.\end{cases}$$

Así que $f_n(x)$ converge para todo $x\in\mathbb{R}$ .

Ahora tengo que encontrar los intervalos para los que $f_n$ converge uniformemente a $f$ . Estoy considerando los intervalos $[0,1)$ y $(1,\infty)$ . Pero no sé a dónde ir desde aquí. Estoy pensando en la prueba M. Pero no estoy seguro de cómo aplicarlo. Cualquier sugerencia o pista sería útil.

Answer 1

Suficiente para considerar $x\ge0$ .

A continuación, en lugar de comparar con la función límite, miramos los incrementos:

$$|f_n (x)- f_m(x)| = \left|\frac{6}{1+x^{2n} } - \frac{6}{1+x^{2m}}\right| =6 \frac{|x^{2m} - x^{2n}|}{(1+x^{2m})(1+x^{2n})}. $$

Recordemos que la convergencia es uniforme en un conjunto $A$ si y sólo si $$\lim_{m\to\infty} \sup_{n \ge m} \sup_{x\in A} |f_n (x)-f_m(x)|=0.$$

Sin pérdida de generalidad, supongamos que $n>m$ .

1a. Sea $a>1$ . En $[a,\infty)$ tenemos una convergencia uniforme porque el RHS está acotado por encima de $6\frac{ x^{2n}}{1+x^{2n}} \frac{6}{a^{2m}}\le 6a^{-2m}$ .

1b. En $(1,\infty)$ no tenemos una convergencia uniforme porque, por ejemplo, mirando $x=2^{1/m^2}$ y $n=m^2$ el lado derecho se convierte en

$$ 6 \frac{|2^{2/m} - 2^{1}|}{(1+2^{2/m})(1+2^{1})}\underset{m\to\infty} {\to} 6 \frac{ 2-1}{2(1+2)}=1.$$

2a. Sea $a<1$ . En el intervalo $[0,a]$ volvemos a tener una convergencia uniforme. Esto es fácil de ver porque el lado derecho está acotado arriba por $6a^{2m}$ .

2b. En el intervalo $[0,1)$ no hay convergencia uniforme: de manera similar a 1b, tome $x=2^{-1/m^2}$ , $n=m^2$ para obtener

$$6 \frac{|2^{-2/m}-2^{-1}|}{(1+2^{-2/m})(1+2^{-1})}\underset{m\to\infty} {\to}6\frac{\frac12}{2 \times \frac 32}=1.$$

También la secuencia converge trivialmente de manera uniforme en el intervalo degenerado $[1,1]$ .