Sí: una integral de este tipo siempre converge en las condiciones que has descrito.
Para mayor claridad del argumento, supondré que $a = 0$ pero se puede adaptar a cualquier $a$ . Romper el intervalo $[0, \infty)$ en una unión: $$[0, \infty) = [0, \pi] \cup [\pi, 2 \pi] \cup [2 \pi, 3 \pi] \cup \dots$$ A continuación, compara el valor de las integrales en las regiones adyacentes. Obsérvese que \begin{align*} \left|\int_{\pi}^{2 \pi} f(x) \sin(x) \, \textrm{d} x \right| &= \int_{\pi}^{2 \pi} \left| f(x) \sin(x) \right| \, \textrm{d} x\\ &= \int_0^{\pi} \left|f(u + \pi) [\sin(u + \pi)] \right| \, \textrm{d} u \\ &= \int_0^{\pi} \left|f(u + \pi) [-\sin(u)] \right| \, \textrm{d} u \\ &= \int_0^{\pi} f(u+ \pi) \sin(u) \, \textrm{d} u \\ & \leq \int_0^{\pi} f(u) \sin(u) \, \textrm{d} u \\ &= \left| \int_0^{\pi} f(x) \sin(x) \, \textrm{d} x \right| \end{align*} y el mismo argumento puede aplicarse a cualquier intervalo adyacente. Así, los términos integrales $a_n := \int_{n \pi}^{(n+1)\pi} f(x) \, \textrm{d} x$ para $n \geq 0$ forman una secuencia que satisface las hipótesis de la prueba de series alternas.
Una advertencia: estas integrales convergerán si se consideran como Riemann integrales pero como integrales de Lebesgue, puede que no. Para que las integrales de Lebesgue converjan, también hay que garantizar que $a_0 + a_2 + a_4 + \dots$ y $a_1 + a_3 + a_5 + \dots$ cada uno converge a un valor finito.
