Convergencia de la integral alternante

Question

Esta prueba existe para series alternas:

https://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_series_test

Quiero saber si hay un equivalente para integrales de esta forma

$$\int\limits_a^\infty \mathrm{d}x\ f(x) \sin{x}$$

Donde $f$ es monotónicamente decreciente, positiva, no diverge y cuando x va a $\infty$ , $f$ va a cero.

No tengo mucha experiencia con los análisis reales, así que no tengo ni idea de cómo proceder. Pensé en usar algo como la integral de Riemann para poder usar la prueba anterior, pero no tuve éxito.

Answer 1

Sí: una integral de este tipo siempre converge en las condiciones que has descrito.

Para mayor claridad del argumento, supondré que $a = 0$ pero se puede adaptar a cualquier $a$ . Romper el intervalo $[0, \infty)$ en una unión: $$[0, \infty) = [0, \pi] \cup [\pi, 2 \pi] \cup [2 \pi, 3 \pi] \cup \dots$$ A continuación, compara el valor de las integrales en las regiones adyacentes. Obsérvese que $$\begin{align*} \left|\int_{\pi}^{2 \pi} f(x) \sin(x) \, \textrm{d} x \right| &= \int_{\pi}^{2 \pi} \left| f(x) \sin(x) \right| \, \textrm{d} x\\ &= \int_0^{\pi} \left|f(u + \pi) [\sin(u + \pi)] \right| \, \textrm{d} u \\ &= \int_0^{\pi} \left|f(u + \pi) [-\sin(u)] \right| \, \textrm{d} u \\ &= \int_0^{\pi} f(u+ \pi) \sin(u) \, \textrm{d} u \\ & \leq \int_0^{\pi} f(u) \sin(u) \, \textrm{d} u \\ &= \left| \int_0^{\pi} f(x) \sin(x) \, \textrm{d} x \right| \end{align*}$$ y el mismo argumento puede aplicarse a cualquier intervalo adyacente. Así, los términos integrales $a_n := \int_{n \pi}^{(n+1)\pi} f(x) \, \textrm{d} x$ para $n \geq 0$ forman una secuencia que satisface las hipótesis de la prueba de series alternas.

Una advertencia: estas integrales convergerán si se consideran como Riemann integrales pero como integrales de Lebesgue, puede que no. Para que las integrales de Lebesgue converjan, también hay que garantizar que $a_0 + a_2 + a_4 + \dots$ y $a_1 + a_3 + a_5 + \dots$ cada uno converge a un valor finito.