Considere la función $J(y)=\int_{a}^{b}F(x,y,y')dx$ .

Question

Dónde ,

$$F(x,y,y')=y'+y$$ para la función admisible $y$ . Entonces, ¿cuál es el extremo?

Hice la solución utilizando el caso especial de la ecuación de Euler-Lagrange donde el $x$ y llegó al resultado $y(x)=c$ es el extremo. Pero al comprobar la respuesta en el libro, dice que no tiene ningún extremo. Estoy confundido. Ayúdenme.

Answer 1

Puedes comprobar tu respuesta introduciéndola en el funcional con una perturbación, $y_p=c+\epsilon f(x)$ y ver si se obtiene un mínimo en $\epsilon =0$ para todos $f(x)$ . $$J(y_p)=\int_a^b (\epsilon f'(x)+c+ \epsilon f(x)) dx $$ Tomando una derivada con respecto a $\epsilon$ y al ponerlo a cero se obtiene $$\int_a^b f'(x)+f(x)dx$$ que no es cero para todas las posibles f(x).