Álgebra exterior y vectores linealmente independientes

Question

Supongamos que $v_1,\cdots,v_r$ son vectores linealmente independientes en algún espacio vectorial $V$ . Quiero tratar de mostrar que para cualquier $w \in \bigwedge^p(V)$ que $$ w = \sum_{i=1}^{r} v_i \wedge \psi_i $$ para algunos $\psi_i \in \bigwedge^{p-1}(V)$ si y sólo si $$ v_1\wedge v_2\wedge \cdots \wedge v_r\wedge w = 0. $$

La dirección de avance es trivial escribiendo $w$ como la suma y extendiendo el producto cuña linealmente. Es la segunda implicación la que me da problemas.

Si asumimos que $v_1\wedge v_2\wedge \cdots \wedge v_r\wedge w = 0$ entonces quiero concluir que puedo escribir $w$ en la forma adecuada examinando formas alternas y multilineales bien elegidas de $V^{p+r}$ en algún espacio vectorial para poder utilizar la propiedad universal de $\bigwedge^{p+r}(V)$ y evaluar el mapa inducido en $v_1\wedge v_2\wedge \cdots \wedge v_r\wedge w$ y obtener $0$ .

El problema que tengo es que $w$ no es necesariamente un producto cuña elemental, por lo que no tengo una forma canónica de pensar en él como un elemento de $V^p$ . Cualquier idea para esta dirección hacia atrás sería muy apreciada.

Answer 1

Dejemos que $\{e_1,\ldots, e_k\}$ sea una base de $V$ tal que $v_i=e_i$ para $1\le i\le r$ . $w\in \bigwedge^p(V) \implies$

$$w = \sum_{\alpha\in P}f_{\alpha}e_{\alpha_1}\wedge\ldots \wedge e_{\alpha_s}$$ Donde $P = \{(i_1,\ldots, i_s) \mid 1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_s \le k, s\leq p\}$ y usaré $|\alpha|$ para denotar el número de elementos de la tupla. Es evidente que $$v_1\wedge \cdots \wedge v_r = e_{1}\wedge\cdots \wedge e_{r}$$ Así que \begin{align*} &v_1\wedge \cdots \wedge v_r\wedge w = 0\\ \implies& e_{1}\wedge\cdots \wedge e_{r}\wedge \sum_{\alpha\in P}f_{\alpha}e_{\alpha_1}\wedge\cdots \wedge e_{\alpha_s} = 0\\ \implies& \forall \alpha\in P, f_\alpha \neq 0 \implies \exists l_\alpha \leq |\alpha|, \alpha_{l_\alpha} \leq r \text{ (Let $l_\alpha$ denote the least such value)}\\ \implies& w = \sum_{\alpha\in P, f_\alpha \neq0}f_{\alpha}e_{\alpha_1}\wedge\cdots \wedge e_{\alpha_m}\wedge e_{l_\alpha}\wedge e_{\alpha_n}\wedge \cdots \wedge e_{\alpha_s} \space\space(\alpha_m<l_\alpha<\alpha_n)\\ \implies& w = \sum_{\alpha\in P, f_\alpha \neq0}f_{\alpha}(-1)^m e_{l_\alpha}\wedge e_{\alpha_1}\wedge\cdots \wedge e_{\alpha_m}\wedge e_{\alpha_n}\wedge \cdots \wedge e_{\alpha_s} \space\space(\alpha_m<l_\alpha<\alpha_n)\\ \implies& w = \sum_{i=1}^rv_{i}\wedge\sum_{\alpha\in P, f_\alpha \neq0,l_\alpha = i}f_{\alpha}(-1)^m\wedge e_{\alpha_1}\wedge\cdots \wedge e_{\alpha_m}\wedge e_{\alpha_n}\wedge \cdots \wedge e_{\alpha_s} \space\space(\alpha_m<l_\alpha<\alpha_n) \end{align*} Puede que me haya equivocado en alguna parte, pero la idea debe estar clara. Si tienes una notación que sugieres que utilice para mayor claridad, ¡no dudes en comentarlo!