¿Qué significa que "la diferencia entre dos cantidades es de primer orden"?

Question

Esta pregunta se refiere a la explicación de la Ec.(6.19) de la Mecánica Cuántica Moderna de Sakurai Nepolitano (2ª edición)

Dejemos que ${\bf j}(dx)$ sea un operador que traslada un punto $x$ a $x+dx$ .

j f(x) = f(x+dx)

Ahora en el límite dx tiende a 0, j es sólo el operador de identidad. La explicación en el libro mencionado anteriormente dice además que la diferencia entre el operador j (dx) y el operador identidad es de primer orden en dx. ¿Puede alguien explicar el significado de esto?

Answer 1

Significa que la diferencia, cuando $dx$ es infinitesimalmente pequeño (en el sentido del cálculo), es proporcional a $dx$ a la potencia 1, $dx^1$ .

Por ejemplo, una expansión de Taylor de una función cercana a un punto dado $x$ , $$f(x + dx) = f(x) +dx f'(x) + \frac{1}{2} dx^2 f''(x) +...$$ Consiste en un número infinito de términos que expresan la función con argumento desplazado en términos de la función y sus derivadas en el punto $x$ . Cada término contiene $dx$ a una potencia diferente, conocida como el orden del término.

A la orden de zeroth en $dx$ (sin potencia de dx) las funciones son las mismas (primer término del lado derecho). En primer orden, $dx^1$ se diferencian por $dx f'(x)$ (segundo término del lado derecho). En el orden cuadrático, o en el orden dos, difieren en $\frac{1}{2} dx^2 f''(x)$ etc.

Para $dx$ infinitesimal, supongamos que podemos decir vagamente $dx \ll 1$ tendremos el término de orden $dx$ dominando (es decir, más grande que) los términos de orden superior, ya que vienen con una cantidad infinitesimal elevada a una potencia superior.

Answer 2

Digamos que quieres una transformación que rote vectores y pretendes que nunca has oído hablar de las funciones trigonométricas.

Sophus Lie tenía un truco:

Pero primero hay un truco sorprendente que funciona la mayoría de las veces llamado expansión de Taylor:

Sea una función de valor real $f$ en algún intervalo abierto (digamos por ahora que contiene $0$ ) donde es diferenciable infinitas veces. La expresión:

$$g_5(x) \equiv \frac{f(0)(x-0)^0}{0!} + \frac{f'(0)(x-0)^1}{1!} + \frac{f^{(2)}(0)(x-0)^2}{2!} +\frac{f^{(3)}(0)(x-0)^3}{3!} + \frac{f^{(4)}(0)(x-0)^4}{4!} +\frac{f^{(5)}(0)(x-0)^5}{5!}$$

es una secuencia que satisface para cada número del intervalo: $$f(x)=lim_{n \to \infty}g_n(x)$$

Bastante bien.

Ahora viene Euler. Hay un número especial $e=2.71828...$ y es genial en una cantidad ilimitada de formas. específicamente aunque tiene una propiedad:

$$(e^x)'=e^x$$

Así que usando el truco del tyalor (y $e^0=1$ ):

$$e^x=1+ x+\frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ....$$

¿Por qué detenerse aquí? Se puede generalizar con algunas reglas adicionales para $x \to X$ donde $X$ ¡es una matriz!

Hacer una rotación por un ángulo arbitrario, y expresarlo a primer orden (J es [[0,-1],[1,0]] y es algebraicamente como $i$ ):

$I+\theta J$

En realidad se trata de una rotación ordinaria, pero muy cercana a la transformación de identidad, pero sólo si el ángulo es pequeño. Es una característica algebraica para todos los ángulos y por eso forma parte de un álgebra de Lie. Ahora el truco de Lie es simplemente usar el mapa exponencial usando $e$ como base. Este es un mapa al grupo de Lie, donde es exacta y no sólo el álgebra.

$e^{\theta J}=I+\theta J- \frac{\theta ^2 I}{2!} - \frac{\theta ^3 J}{3!}+\frac{\theta ^4 I}{4!} + \frac{\theta ^5 J}{5!} + ....$

Si se acuerdan las condiciones con $I$ separado de los términos con $J$ ¡se obtiene exactamente una rotación trigonométrica completa!

¡Así que la moraleja de la historia es que en muchos casos interesantes basta con el primer orden de un operador y aplicar un mapa exponencial!

Tenga en cuenta que no tiene que ser pequeño. Se maneja algebraicamente como una operación "pequeña".

Sobre el significado de la insinuación fructífera en el libro:

Probablemente sea intencionado que se trate de un $dx$ . Bastante elegante. Pero no puede ser serio en el contexto de la lógica moderna, con las otras cosas que se deciden en su elaboración. ¡Así que no se moleste en absoluto con él es la mejor estrategia!

Si insiste, evite interpretar $dx$ como infinitesimal, de lo contrario no es posible hacerlo realmente.

En primer lugar $dx$ es un diferencial. Pensando literalmente y manteniéndolo simple es una cosa que toma diferencias y da valores. Si se tiende a 0 será, bueno, 0. Hace que todo el asunto sea bastante vacío. Así que no tengas en cuenta la primera parte, es simplemente molesto.

Me permito decir que como operador de identidad es de orden 0, también lógicamente. Así que como operador sólo afirma el hecho de que dx.

Así que la parte de la diferencia te dice que j tiene que ser de primer orden en dx.

¿Y ahora por qué?

En primer lugar, porque formalmente $$j[f(x)]=f(x+dx)$$ tiene un $dx$ en ella y si la interpretas normalmente entonces depende del valor de dx, con lo cual puedes inferir lo que tienes que obtener de la $f$ y calcular qué es lo que $j$ está haciendo. Y luego sigue con tu vida :).

A veces ser de primer orden significa que los poderes superiores son sólo $0$ . No es una forma muy satisfactoria de entender en mi opinión. Porque eso es sólo un ejemplo de lo que no es. Hay muchos más.

Sin embargo, lo que significa es que la diferencia es $f'dx$ .

$$f'dx=(f(x)dx^0 + f'(x)dx) - f(x)$$

Así que:

$$j[f(x)]=f+f'dx=f(x)+df(x)=(fdx)'$$