¿Qué son las derivadas parciales? ¿Basta con diferenciar las variables explícitas?

Question

De la ecuación de Euler-Lagrange, $$L=L(q(t),\dot q(t),t)$$$$\cfrac{dL}{dt}=\cfrac{\partial L}{\partial q}\cfrac{dq}{dt}+\cfrac{\partial L}{\partial \dot q}\cfrac{d\dot q}{dt}+\cfrac{\partial L}{\partial t}$$ Así que, desde la perspectiva de las matemáticas puras, es sólo decir que para una función $$f=f(x,y,t)=x+y$$$$x=x(t)=2t$$$$y=y(t)=3t^2$$$$\cfrac{\partial f}{\partial t}=0\quad!!!$$ Si esto es realmente cierto, ¿qué te parece que $$f=f(x,y)=x+y$$$$x=x(t)=2t$$$$y=y(t)=3t^2$$$$\cfrac{\partial f}{\partial t}=?$$ También que tal, $$f=f(x,y)=x+y$$$$x=x(s)=2s$$$$y=y(t)=3t^2$$$$\cfrac{\partial f}{\partial t}=?$$

Answer 1

El concepto que busca es el regla de la cadena multivariable .

En su primer ejemplo, el símbolo $t$ tiene dos significados distintos. Este abuso de la notación hace más difícil racionalizar lo que se está expresando. Puede ser útil reescribir esta formulación $f=f(x,y,z)$ donde $x(t)=2t$ , $y(t)=3t^2$ y $z(t)=t$ . A partir de aquí, la aplicación de la regla de la cadena es sencilla. Como éste es el ejemplo más complejo desde el punto de vista de la notación, lo trataré en último lugar.

En tu segundo ejemplo, tienes una función $f: \Bbb R^2 \to \Bbb R$ , $f=f(\vec {x})$ , donde $\vec x: \Bbb R \to \Bbb R^2$ es a su vez una función de $t$ . Por la regla de la cadena, $$ \frac{\partial f}{\partial t} = \nabla f \cdot \frac{\partial}{\partial t}\vec x = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t} = (1)(2)+ (1)(6t) = 3+6t $$

Asimismo, en el tercer caso, tenemos $f: \Bbb R^2 \to \Bbb R$ , $f=f(\vec {x})$ donde $\vec x: \Bbb R^2 \to \Bbb R^2$ es una función de $s$ y $t$ . Por el mismo principio, $$ \frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t} = (1)(0) + (1)(6t) = 6t. $$

Volviendo al primer ejemplo, tenemos una función $f: \Bbb R^3 \to \Bbb R$ , $f=f(\vec x)$ , donde $\vec x: \Bbb R \to \Bbb R^3$ viene dada por $$ \vec x(t) = \langle x(t), \,y(t), \,z(t)\rangle = \langle 2t, \,3t^2, \, t \rangle. $$ Aplicando la regla de la cadena a este caso obtenemos $$ \frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t} = (1)(2) + (1)(6t) + (0)(1) = 3 + 6t. $$

Answer 2

Parece que no tienes clara la semántica de una derivada parcial.

La notación $\frac{\partial f(x,y,t)}{\partial x}$ significa

• fingir temporalmente $x$ , $y$ y $z$ son variables independientes,
• diferenciar $f$ con respecto a la variable independiente $x$ entonces
• dejar de pretender que $x$ , $y$ y $z$ son variables independientes.

Utilizamos las derivadas parciales para encontrar las tasas de cambio de las salidas de la función formal $f$ con respecto a cada una de sus entradas de forma independiente. Esto puede describirse utilizando cualquiera de las frases

• Diferenciar $f$ con respecto a $x$ manteniendo constantes todas las demás variables. (La última frase significa que incluso si $x$ , $y$ y/o $z$ no son variables independientes, y esta falta de independencia significa que no puedes variarlas independientemente, debes realizar el cálculo como si pudieras).
• Diferenciar $f$ con respecto a su argumento formal, $x$ . (En este caso, tratamos $f$ como una máquina que toma tres argumentos y los convierte en salida. La cláusula " $\partial f(x,y,z)$ " afirma que el primer argumento está etiquetado como " $x$ ".)
• Diferenciar $f$ con respecto a su primera ranura. ("Ranura" significa una entrada a la función. Con " $f(x,y,z)$ ", anunciamos que $f$ tiene tres ranuras).

Observe que esto hace que todo de lo siguiente no tiene sentido:

• $\frac{\partial f}{\partial x}$ : Sin una declaración previa de las etiquetas de los argumentos formales de $f$ no hay manera de saber qué argumento de $f$ debe ser variado. Así, si previamente habíamos anunciado " $f(a,b,c)$ ", esto es indefinido, y si previamente habíamos anunciado " $f(x,y,z)$ ", esto está definido. Pero la notación debe ser aumentada por un anuncio previo para resolver esta diferencia.
• $\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial t}$ : $t$ no es un argumento formal para $f$ .
• $\frac{\partial f(x,x,x)}{\partial x}$ : ¿Qué argumento formal varía?
• $\frac{\partial f(x(t),y(t),z(t))}{\partial t}$ : $t$ no es un argumento formal de $f$ .

Tenga en cuenta que se puede declarar $f(x,y,t)$ y luego calcular $\frac{\partial f(a,b,c)}{\partial a}$ . Esta es la derivada parcial de $f$ con respecto a su primer argumento formal. Que nosotros realmente son hablar de posiciones de argumentos formales en lugar de cantidades modeladas se indica a veces con esta notación $$ f_1 = \partial_1 f = \frac{\partial f(a,b,c)}{\partial a} \text{,} $$ los tres son notación para la derivada parcial de $f$ con respecto a su primer argumento formal.

Volviendo a sus ejemplos:

• Su primer ejemplo tiene " $f(x,y,t) = x + y$ " declara que los argumentos formales de $f$ están etiquetados $x$ , $y$ y $t$ . La tasa de cambio de $f(x,y,t) = x+y$ con respecto a $t$ el tercer argumento formal, es cero: $\frac{\partial f}{\partial t} = 0$ .
• Su segundo ejemplo tiene " $f(x,y) = x+y$ ". Desde $f$ no se declara para tener un parámetro formal $t$ la expresión $\frac{\partial f}{\partial t}$ es indefinido; no tiene un valor.
• Tu tercer ejemplo tiene la misma deficiencia que el segundo: $t$ no es un argumento formal de $f$ Así que $f$ no tiene una derivada parcial con respecto a $t$ .

Por último, puede ser útil escribir con palabras lo que significa su primera expresión, la derivada total:

• $\cfrac{dL}{dt}$ es la derivada total de $L(q(t),\dot q(t),t)$ con respecto a la variable independiente $t$ . Tiene tres contribuciones:
• $\cfrac{\partial L}{\partial q}\cfrac{dq}{dt}$ La tasa de cambio de $L$ con respecto a la variación de su primer argumento formal, multiplicado por la tasa de cambio de la entrada de ese argumento con respecto a $t$ (Este es un ejemplo de la regla de la cadena, donde se multiplican las tasas de cambio anidadas),
• $\cfrac{\partial L}{\partial \dot q}\cfrac{d\dot q}{dt}$ La tasa de cambio de $L$ con respecto a la variación de su segundo argumento formal, multiplicado por la tasa de cambio de la entrada de ese argumento con respecto a $t$ y
• $\cfrac{\partial L}{\partial t}$ La tasa de cambio de $L$ con respecto a la variación de su tercer argumento formal, que ya está ligado a la variable $t$ .