Consideremos dos vectores aleatorios $v=v_1,\dots, v_n$ y $w=w_1,\dots, w_n$ Cada uno de $n$ elementos, cada uno de los cuales es independiente $\pm1$ con prob $1/2$ . Sea $n$ sea uniforme y que $X$ sea el producto interior de $v$ y $w$ . Lo sabemos:
$$P(X = 0) = {n \choose n/2} \frac{1}{2^n}.$$
Ahora dejemos que $Y$ sea el producto interior de $v$ y el vector $z=w_2,\dots,w_n, w_1$ .
¿Qué es? $P(Y=0|X=0)$ ?
En primer lugar, para que el producto interno sea $0$ , $n$ debe ser uniforme.
Lo entendemos. $u\cdot v=0$ exactamente cuando el producto elemento-sabio de los vectores, $v_kw_k$ tiene tantos $+1$ s como $-1$ s. Después de un desplazamiento, el producto elemento-sabio cambia cada vez que $w_kw_{k+1}=-1$ (con envoltorio). Así, para cada $-1$ de $w_kw_{k+1}$ en el $+1$ s de $v_kw_k$ debe haber un $-1$ de $w_kw_{k+1}$ en el $-1$ s de $v_kw_k$ .
El número de transiciones que dejan el producto punto sin cambios es $$ \sum_{k=0}^{n/2}\binom{n/2}{k}\binom{n/2}{k}=\binom{n}{n/2}\tag{1} $$ El número total de transiciones es $$ \sum_{k=0}^{n/2}\binom{n}{2k}=2^{n-1}\tag{2} $$ Tenga en cuenta que $(2)$ sólo es válida para $n\gt0$ . Para $n=0$ la suma es $1$ no $\frac12$ .
Así, para $n\gt0$ la probabilidad de que no haya cambios en el producto punto es $$ \binom{n}{n/2}2^{1-n}\tag{3} $$ Que es exactamente el doble de la probabilidad de tener un producto punto de $0$ en primer lugar. Para $n=0$ la probabilidad es $1$ .
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