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Problema de valor inicial para la EDP ut+x3ux=0ut+x3ux=0

Consideremos el problema de valor inicial (PIV): ut+x3ux=0ut+x3ux=0 (x,t)R×(0,)(x,t)R×(0,) , u(x,0)=u0(x)u(x,0)=u0(x) , xRxR , donde u0:RRu0:RR es una función suave y acotada prescrita. Dibuje la familia de curvas características de la PIV en el diagrama del dominio. Obtenga la solución u:R×[0,)Ru:R×[0,)R a la PIV.

Esta es una ecuación lineal por lo que tenemos la forma a(x,t)ut+b(x,t)ux+c(x,t)u=0a(x,t)ut+b(x,t)ux+c(x,t)u=0 donde a(x,t)=x3a(x,t)=x3 y b(x,t)=1b(x,t)=1 y c(x,t)=0c(x,t)=0 .

Necesidad de cambiar las coordenadas de (x,t)(x,t) a (x0,s)(x0,s) . Tenemos: dxds=x3,(2a)dxds=x3,(2a) dtds=1,(2b)dtds=1,(2b)

Entonces duds=dxdsux+dtdsut=x3ux+utduds=dxdsux+dtdsut=x3ux+ut Así que duds=0,(3)duds=0,(3)

Resolver (2a)(2a) y (2b)(2b) con la condición x(0)=x0x(0)=x0 y t(0)=0t(0)=0 para conseguir x2=12(1/2x20s),t=sx2=12(1/2x20s),t=s respectivamente.

Resolver (3)(3) con condiciones u(0)=f(x0)u(0)=f(x0) que sólo da u=f(x0)u=f(x0) .


Estoy atascado en esta parte:

Cuando u0(x)=ex2u0(x)=ex2 xRxR , esboza la solución del PIV en el (x,u)(x,u) para valores crecientes de t>0t>0 . Describa la estructura de la solución como tt .

Corrige si me equivoco pero tendríamos exp(12t1/s2)exp(12t1/s2) pero no sé cómo sería esto...

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La curva característica CC a través de x=a,t=0x=a,t=0 viene dada por 1a21x2=2t.1a21x2=2t. en la curva C,uC,u el valor de u(x,t)=u0(a).u(x,t)=u0(a).

dado x,tx,t se puede resolver para a.a. obtenemos a=12t+1x2.a=12t+1x2. es decir u(x,t)=u0(12t+1x2).u(x,t)=u0⎜ ⎜12t+1x2⎟ ⎟.

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H. R. Puntos 4749

Consejos

1) En primer lugar, recomiendo echar un vistazo a este puesto .

2) Considere el siguiente cambio de variables

{x=x(u,v)t=t(u,v),{xu=x3tu=1

y definir

z(u,v)=u(x(u,v),t(u,v))

entonces la PDE le dirá que

zu=0

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