Consideremos el problema de valor inicial (PIV): $$u_t + x^3u_x = 0$$ $(x,t) \mathbb{R} ×(0,)$ , $u(x,0) = u_0(x)$ , $x R$ , donde $u_0 : \mathbb{R} \mathbb{R}$ es una función suave y acotada prescrita. Dibuje la familia de curvas características de la PIV en el diagrama del dominio. Obtenga la solución $u : \mathbb{R} ×[0,) \mathbb{R}$ a la PIV.
Esta es una ecuación lineal por lo que tenemos la forma $$a(x,t)u_t+b(x,t)u_x+ c(x,t)u=0$$ donde $a(x,t)=x^3$ y $b(x,t)=1$ y $c(x,t)=0$ .
Necesidad de cambiar las coordenadas de $(x,t)$ a $(x_0,s)$ . Tenemos: $$\frac{dx}{ds}=x^3, \, \, \, \, \, \, (2a)$$ $$\frac{dt}{ds}=1, \, \, \, \, \, \, (2b)$$
Entonces $$\frac{du}{ds}=\frac{dx}{ds}u_x+\frac{dt}{ds}u_t=x^3u_x+u_t$$ Así que $$\frac{du}{ds}=0, \, \, \, \, \, \, (3)$$
Resolver $(2a)$ y $(2b)$ con la condición $x(0)=x_0$ y $t(0)=0$ para conseguir $$x^2= \frac1{2 (1/2x_0^2-s)}, \, \, \, \, t=s$$ respectivamente.
Resolver $(3)$ con condiciones $u(0)=f(x_0)$ que sólo da $u=f(x_0)$ .
Estoy atascado en esta parte:
Cuando $$u_0(x) = e^{x^2}$$ $x \mathbb{R}$ , esboza la solución del PIV en el $(x,u)$ para valores crecientes de $t > 0$ . Describa la estructura de la solución como $t $ .
Corrige si me equivoco pero tendríamos $$\exp \bigg(- \frac1{2t-1/s^2} \bigg)$$ pero no sé cómo sería esto...
