Consideremos el problema de valor inicial (PIV): ut+x3ux=0ut+x3ux=0 (x,t)R×(0,) , u(x,0)=u0(x) , xR , donde u0:RR es una función suave y acotada prescrita. Dibuje la familia de curvas características de la PIV en el diagrama del dominio. Obtenga la solución u:R×[0,)R a la PIV.
Esta es una ecuación lineal por lo que tenemos la forma a(x,t)ut+b(x,t)ux+c(x,t)u=0 donde a(x,t)=x3 y b(x,t)=1 y c(x,t)=0 .
Necesidad de cambiar las coordenadas de (x,t) a (x0,s) . Tenemos: dxds=x3,(2a) dtds=1,(2b)
Entonces duds=dxdsux+dtdsut=x3ux+ut Así que duds=0,(3)
Resolver (2a) y (2b) con la condición x(0)=x0 y t(0)=0 para conseguir x2=12(1/2x20−s),t=s respectivamente.
Resolver (3) con condiciones u(0)=f(x0) que sólo da u=f(x0) .
Estoy atascado en esta parte:
Cuando u0(x)=ex2 xR , esboza la solución del PIV en el (x,u) para valores crecientes de t>0 . Describa la estructura de la solución como t .
Corrige si me equivoco pero tendríamos exp(−12t−1/s2) pero no sé cómo sería esto...