Consideremos el problema de valor inicial (PIV): ut+x3ux=0ut+x3ux=0 (x,t)R×(0,)(x,t)R×(0,) , u(x,0)=u0(x)u(x,0)=u0(x) , xRxR , donde u0:RRu0:RR es una función suave y acotada prescrita. Dibuje la familia de curvas características de la PIV en el diagrama del dominio. Obtenga la solución u:R×[0,)Ru:R×[0,)R a la PIV.
Esta es una ecuación lineal por lo que tenemos la forma a(x,t)ut+b(x,t)ux+c(x,t)u=0a(x,t)ut+b(x,t)ux+c(x,t)u=0 donde a(x,t)=x3a(x,t)=x3 y b(x,t)=1b(x,t)=1 y c(x,t)=0c(x,t)=0 .
Necesidad de cambiar las coordenadas de (x,t)(x,t) a (x0,s)(x0,s) . Tenemos: dxds=x3,(2a)dxds=x3,(2a) dtds=1,(2b)dtds=1,(2b)
Entonces duds=dxdsux+dtdsut=x3ux+utduds=dxdsux+dtdsut=x3ux+ut Así que duds=0,(3)duds=0,(3)
Resolver (2a)(2a) y (2b)(2b) con la condición x(0)=x0x(0)=x0 y t(0)=0t(0)=0 para conseguir x2=12(1/2x20−s),t=sx2=12(1/2x20−s),t=s respectivamente.
Resolver (3)(3) con condiciones u(0)=f(x0)u(0)=f(x0) que sólo da u=f(x0)u=f(x0) .
Estoy atascado en esta parte:
Cuando u0(x)=ex2u0(x)=ex2 xRxR , esboza la solución del PIV en el (x,u)(x,u) para valores crecientes de t>0t>0 . Describa la estructura de la solución como tt .
Corrige si me equivoco pero tendríamos exp(−12t−1/s2)exp(−12t−1/s2) pero no sé cómo sería esto...