Problema de valor inicial para la EDP $u_t + x^3u_x = 0$

Question

Consideremos el problema de valor inicial (PIV): $$u_t + x^3u_x = 0$$ $(x,t) \mathbb{R} ×(0,)$ , $u(x,0) = u_0(x)$ , $x R$ , donde $u_0 : \mathbb{R} \mathbb{R}$ es una función suave y acotada prescrita. Dibuje la familia de curvas características de la PIV en el diagrama del dominio. Obtenga la solución $u : \mathbb{R} ×[0,) \mathbb{R}$ a la PIV.

Esta es una ecuación lineal por lo que tenemos la forma $$a(x,t)u_t+b(x,t)u_x+ c(x,t)u=0$$ donde $a(x,t)=x^3$ y $b(x,t)=1$ y $c(x,t)=0$ .

Necesidad de cambiar las coordenadas de $(x,t)$ a $(x_0,s)$ . Tenemos: $$\frac{dx}{ds}=x^3, \, \, \, \, \, \, (2a)$$ $$\frac{dt}{ds}=1, \, \, \, \, \, \, (2b)$$

Entonces $$\frac{du}{ds}=\frac{dx}{ds}u_x+\frac{dt}{ds}u_t=x^3u_x+u_t$$ Así que $$\frac{du}{ds}=0, \, \, \, \, \, \, (3)$$

Resolver $(2a)$ y $(2b)$ con la condición $x(0)=x_0$ y $t(0)=0$ para conseguir $$x^2= \frac1{2 (1/2x_0^2-s)}, \, \, \, \, t=s$$ respectivamente.

Resolver $(3)$ con condiciones $u(0)=f(x_0)$ que sólo da $u=f(x_0)$ .

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Estoy atascado en esta parte:

Cuando $$u_0(x) = e^{x^2}$$ $x \mathbb{R}$ , esboza la solución del PIV en el $(x,u)$ para valores crecientes de $t > 0$ . Describa la estructura de la solución como $t$ .

Corrige si me equivoco pero tendríamos $$\exp \bigg(- \frac1{2t-1/s^2} \bigg)$$ pero no sé cómo sería esto...

Answer 1

La curva característica $C$ a través de $x = a, t = 0$ viene dada por $$\frac 1{a^2} - \frac 1{x^2} = 2t.$$ en la curva $C, u$ el valor de $u(x,t) = u_0(a).$

dado $x, t$ se puede resolver para $a.$ obtenemos $a = \frac 1{\sqrt{2t+ \frac1{x^2}}}.$ es decir $$u(x,t) = u_0\left( \frac 1{\sqrt{2t+ \frac1{x^2}}}\right).$$

Answer 2

Consejos

1) En primer lugar, recomiendo echar un vistazo a este puesto .

2) Considere el siguiente cambio de variables

$$\left\{ \matrix{ x = x(u,v) \hfill \cr t = t(u,v) \hfill \cr} \right.,\,\,\,\,\,\left\{ \matrix{ {{\partial x} \over {\partial u}} = {x^3} \hfill \cr {{\partial t} \over {\partial u}} = 1 \hfill \cr} \right.$$

y definir

$$z(u,v)=u(x(u,v),t(u,v))$$

entonces la PDE le dirá que

$${{\partial z} \over {\partial u}} = 0$$