¿Error en el enunciado del cuantificador?

Question

Estoy trabajando en un conjunto de afirmaciones Verdadero y Falso que tratan de cuantificadores, y sospecho que puede haber un error. El conjunto universal aquí son los números racionales, así que casi todo está sobre la mesa. He comprobado tres veces cada una de ellas con lo que he podido encontrar en Internet, pero aparentemente al menos una de ellas no es la respuesta correcta. Aquí está mi razonamiento para cada uno:

1. Verdadero como y = 1 - x
2. Falso ya que no hay ningún valor singular tal que al multiplicarlo por cualquier otro número real, su producto sea 1
3. Falso ya que viola la propiedad comunicativa de la suma, que es verdadera para todos los números reales
4. Falso ya que no hay ningún punto en el que las dos ecuaciones se encuentren, lo que significa que ambas ecuaciones nunca pueden ser verdaderas al mismo tiempo
5. Cierto como para todas las posibilidades racionales de $x^2$ existirá una raíz cuadrada racional.
6. Imposible ya que no hay ningún número racional que se pueda elevar al cuadrado para hacer un número negativo
7. La afirmación dice que para cada dos números reales, existe un número real que es la media de los dos números reales. Esto es siempre cierto y, por tanto, la afirmación es verdadera.
8. Verdadero ya que para todos los valores racionales de x, existe un valor singular de y = 0 para hacer un producto de 0
9. Falso ya que no existe un valor racional de y que resuelva la ecuación para todos los valores de x.
10. Falso ya que para los números racionales negativos, no hay ningún valor de y que se pueda elevar al cuadrado para crearlo.
11. Verdadero ya que la raíz cuadrada de 2 es un número real.
12. Verdadero ya que para todos los valores de x, existirá un y tal que xy = 1. Esto se demuestra con la propiedad inversa de la multiplicación.

Cualquier sugerencia o ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Nr. $7$ es falso. No dice que para cada par de números reales hay un número real que es su media; eso sería $\forall x\forall y\exists z\,\left(z=\frac{x+y}2\right)$ . Dice que para cada número real $x$ hay un número real $z$ tal que $z=\frac{x+y}2$ para cada número real $y$ lo cual es claramente falso: eso dice que para cada número real $x$ la función

$$f_x:\Bbb R\to\Bbb R:y\mapsto\frac{x+y}2$$

es una función constante.