Sé que no son la misma función, pero ¿cuál es el problema aquí? ¿Qué es lo que no estoy teniendo en cuenta? Perdón por una pregunta tan básica, es que me confunde.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?$x^2-1$ y $7x^2-7$ ambos tienen las mismas raíces.
Uno de ellos es $(x-1)(x+1)$ y el otro es $7(x-1)(x+1).$
Dos polinomios con las mismas raíces, al ser factorizados, son múltiplos constantes el uno del otro.
En su ejemplo, la constante es $-1.$
(Si se trata de polinomios con coeficientes reales, entonces "las mismas raíces" debe entenderse como las mismas raíces complejas, incluyendo, pero sin limitarse a, las raíces reales. Esto se debe a que $\mathbb C$ es el cierre algebraico de $\mathbb R.$ )
Ese producto no da la misma función (prueba a expandirlo, da una pero no la otra). Estás tratando de utilizar el hecho de que "una función es un producto de sus raíces".
Pero esto es ligeramente inexacto, más bien la función puede escribirse como $k(x+1)(x-1)$ , donde $k$ es un número real cualquiera (en este caso). Puedes ver que todas las funciones de esta forma tienen las mismas raíces y, sin embargo, multiplicar las raíces no te devuelve necesariamente la misma función.
En otras palabras, si tienes un polinomio con coeficientes en los números reales, entonces el producto de las raíces es un factor de su función, pero no necesariamente la función misma.