Factorización de polinomios multivariables

Question

Determinar una constante $k$ tal que el polinomio $$ P(x, y, z) = x^5 + y^5 + z^5 + k(x^3+y^3+z^3)(x^2+y^2+z^2) $$ es divisible por $x+y+z$ .

Tengo problemas para utilizar el teorema del factor multivariable para este problema>

Answer 1

Escribe estas expresiones simétricas en términos de $s = x+y+z$ , $q = x y + x z + y z$ , $p=x y z$ . Obtenemos \begin{eqnarray} x^5 + y^5 + z^5 &=& s^5 - 5 q s^3 + 5 q^2 s + 5 p s^2 - 5 p q\\ x^3 + y^3 + z^3 &=& s^3 - 3 q s + 3 p \\ x^2 + y^2 + z^2 &=& s^2 - 2 q \end{eqnarray} Por lo tanto, $$x^5 + y^5 + z^5 + k (x^3 + y^3 + z^3)(x^2 + y^2 + z^2) \equiv - 5 pq + k (3p) \cdot (-2 q)= -(5 + 6k) pq \mod s$$

Por lo tanto, $k = -\frac{5}{6}$ . Compruébalo:

$$x^5 + y^5 + z^5 -\frac{5}{6} (x^3 + y^3 + z^3)(x^2 + y^2 + z^2) = \frac{1}{6}s^2 \cdot (s^3 - 5 q s + 15 p) $$

Answer 2

Para $k=-\tfrac56$ tenemos $$\frac{P(x,y,z)}{x+y+z}=\frac16(x^4-x^3 y-x^3 z-4 x^2 y^2+2 x^2 y z-4 x^2 z^2-x y^3+2 x y^2 z+2 x y z^2-x z^3+y^4-y^3 z-4 y^2 z^2-y z^3+z^4).$$