Me hice la siguiente pregunta mientras preparaba un curso sobre series de potencia para alumnos de 2º curso. Sea $F$ sea el conjunto de series de potencias con radio de convergencia igual a $1$ . Qué subconjuntos $S$ del círculo unitario $C$ se puede realizar como $$ S:=\{x \in C: f\text{ diverges in }x\} $$ para $f \in F$ ? Cualquier subconjunto finito (y posiblemente cualquier subconjunto contable) de $C$ puede realizarse así. ¿Quién sabe más sobre esto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
[ Edición (12/12 de enero): Recientemente he tenido conocimiento de otros resultados. He añadido una actualización al final].
Hola Piotr,
Por lo que sé, la cuestión sigue abierta, y no parece que se sepa mucho más allá de los resultados clásicos de George Piranian y Fritz Herzog. Están contenidos en dos documentos conjuntos, disponibles en las publicaciones página del sitio web de Piranian (aunque la calidad de los escaneos no es óptima),
- "Conjuntos de convergencia de series de Taylor. I." Duke Math. J. 16, (1949), 529-534, y
- "Conjuntos de convergencia de series de Taylor. II". Duke Math. J. 20, (1953), 41-54.
Supongamos que $f(z)=\sum_na_nz^n$ y que $f_n(z)=\sum_{k\le n}a_kz^k$ . El criterio de convergencia de Cauchy dice que $f(z)$ converge si $$ \forall n\exists N\forall m,k\ge N |f_m(z)-f_k(z)|\le 1/n. $$ Esto muestra claramente que el conjunto de $z$ en el círculo unitario donde $f$ converge es una intersección contable (indexada por $n$ ) de una unión contable (indexada por $N$ ) de conjuntos cerrados (es decir, la intersección sobre $m,k\ge N$ de los conjuntos $\{z\in C\mid|f_m(z)-f_k(z)|\le 1/n\}$ ).
La conjetura es que cualquier subconjunto de $C$ que es una intersección contable de una unión contable de conjuntos cerrados es el conjunto de convergencia de algún $f$ . [ Edición (12/12 de enero): Este no es el caso. Ver la actualización al final]. Estas cosas se llaman $F_{\sigma\delta}$ Aunque nunca me ha gustado el nombre.
Llevo un tiempo interesado en el problema (de forma intermitente), así que he preguntado por ahí lo que se sabe. Tanto Donald Sarason como Steve Krantz coincidieron en que el estado del arte parece ser lo que se encuentra en los dos documentos mencionados anteriormente (Herzog y Piranian tienen algunos documentos sobre temas estrechamente relacionados, algunos también pueden ser relevantes). Alekos Kechris también señaló que Ted Kaczynski, que fue alumno de Piranian, había trabajado en problemas relacionados. Hay una familia de cuestiones en la vecindad de ésta, que los teóricos de conjuntos descriptivos encuentran interesantes, así que Alekos y otros teóricos de conjuntos descriptivos habían seguido algunos de estos trabajos durante un tiempo.
En su tesis, Kaczynski demostró que si observamos funciones analíticas $f$ el medio plano superior, entonces el $F_{\sigma\delta}$ Los subconjuntos del eje real son precisamente los conjuntos $A$ para el que existe tal $f$ para que $A$ es el conjunto de puntos $p$ en el eje real tal que existe un arco $\gamma$ terminando en $p$ tal que el límite de $f(z)$ como $z$ se acerca a $p$ a lo largo de $\gamma$ existe. En sus trabajos encuentra varias extensiones de este resultado. Me parece que sus técnicas son muy pertinentes para el problema que usted plantea.
Envié un correo electrónico a Piranian hace unos años, pero lamentablemente nunca me contestó, habría sido bonito conocerlo.
Los resultados de los dos documentos anteriores son los siguientes: En el primero, Herzog y Piranian trazan la historia del problema (por ejemplo, Mazurkiewicz había demostrado que cualquier subconjunto cerrado de $C$ es el conjunto de convergencia de algunos $f$ ). Demuestran que cada $F_\sigma$ es un conjunto de convergencia. Su técnica es agradable (tiene un sabor a teoría de la recursión, al menos para mí, asegurando la convergencia en algunas regiones y la divergencia en otras; es similar a un argumento de prioridad), y me parece el tipo de enfoque "correcto" para este problema. Una versión muy sencilla de su argumento puede encontrarse en el libro de análisis de Rudin, donde se demuestra que $$ \sum_n \frac{z^n}n $$ converge para todo $z\in C$ que no sea $z=1$ . El argumento general requiere algunas estimaciones trigonométricas fáciles (que establecen en las secciones 2,3).
En el segundo documento, construyen algunos ejemplos de $F_{\sigma\delta}$ conjuntos que no son $F_\sigma$ y sin embargo son conjuntos de convergencia. Estas construcciones son más ad hoc Al menos para mis ojos inexpertos, son ciertamente mucho más complicados que los resultados del primer artículo. Allí se dan dos pruebas: La primera elabora las técnicas del artículo de Erdös-Herzog-Piranian mencionado por Gideon en un comentario a la pregunta, y así las funciones que se obtienen son inyectivas en el disco unitario. La concesión de la inyectividad es una de las principales razones de la dificultad del planteamiento. La segunda prueba elabora el planteamiento del primer trabajo (por lo que aquí no se asegura la inyectividad), y utiliza ideas de Fejér (como menciona Theo en un comentario más abajo). El primer argumento permite tratar cuestiones de uniforme convergencia; la segunda parece más general pero no concede este control. Como señalan los autores (y gracias a Theo por mencionarlo en su comentario), las técnicas de Fejér bastan para demostrar que no hay $F_\sigma$ conjuntos de convergencia. Lamentablemente, no estoy convencido de que estas técnicas basten por sí solas para establecer la caracterización completa.
Espero que esto ayude. Tengo mucha curiosidad por ver si hay resultados adicionales que me he perdido.
Actualización (12/12 de enero): Esencialmente lo mismo pregunta se preguntó en el sitio hermano. Dave Renfro mencionó una referencia que yo desconocía: Thomas W. Körner, "The behavior of power series on their circle of convergence", en Espacios de Banach, análisis armónico y teoría de la probabilidad , Springer Lecture Notes in Mathematics #995, Springer-Verlag, 1983, 56-94.
Este es un buen estudio, su único problema es que no tiene referencias. Körner demuestra allí un resultado que va más allá de lo que yo discuto arriba y muestra que la cuestión de qué conjuntos son conjuntos de convergencia no es puramente topológica.
Teorema (Körner). Hay una $G_\delta$ subconjunto de $C$ que no es un conjunto de convergencia.
(Este es el teorema 6.2 del documento.) El teorema se basa en un resultado de Marcinkiewicz, que demostró que si $a_n\to0$ como $|n|\to\infty$ entonces $\sum_{-N}^N a_n \exp(int)$ no puede divergir estrictamente en todas partes como $N\to\infty$ . Esto se puede refinar para mostrar que, bajo los mismos supuestos, si $\sum_{-N}^N a_n \exp(int)$ está acotado para todo $t$ en algún intervalo $I$ entonces hay un subintervalo $J\subseteq I$ donde $\lim_{N\to\infty}\sum_{-N}^N a_n \exp(int)$ converge en casi todas partes.
La construcción hace uso de conjuntos (tipo Cantor) de medida positiva, y en particular deja abierto lo siguiente:
¿Es cada $G_{\delta\sigma}$ ¿conjunto de medida de Lebesgue cero el complemento de un conjunto de convergencia?
(Recordemos que Katznelson y Kahane han demostrado que todo conjunto de medida de Lebesgue cero tiene una serie de Fourier que diverge en él, y posiblemente en otros lugares Ver también esto pregunta .)
Me puse en contacto con Körner, que me indicó que no conocía otros resultados. En particular, mencionó la pregunta anterior. También sugirió que se estudiaran algunos resultados recientes de Matheron (en particular, el artículo de Matheron-Zelený de 2005 en Fundamenta), que pueden sugerir enfoques descriptivos de la teoría de conjuntos para el problema de la caracterización.
