Si $a,b \in \mathbb{R}$ , entonces a < b si $ a \leq b + \frac{1}{n}$ para $n\in \mathbb{N}$

Question

La pregunta también pide que se demuestre que $a<b$ si $a \leq b - \frac{1}{n}$ para algunos $n \in \mathbb{N}$ . Mi prueba (en la dirección de avance) comienza así:

$a \leq b$ puede reescribirse como $0 \leq b-a$ . Por la propiedad de Arquímedes, $ \exists N \in \mathbb{N}$ tal que $ 1 \leq n(b-a)$ . Entonces tenemos que $\frac {1}{n} \leq b-a$ . Así, $\frac{1}{n} + a \leq b$ .

Sin embargo, esto no es lo mismo que $ a \leq b + \frac{1}{n}$ . A continuación, probé con un appraoch alternativo:

$a \leq b \implies -a \geq -b \implies -a + b \geq 0$ . Por Arquímedes, $\exists N \in \mathbb{N}$ tal que $ n(-a+b)\geq 1 \implies -a+b \geq \frac{1}{n} \implies b \geq \frac{1}{n} + a$

Agradecería mucho que alguien me indicara en qué me estoy equivocando.

Answer 1

Empezar con la suposición de que $a\leq b+1/n$ para todos $n$ . Queremos mostrar $a\leq b$ . Supongamos, si es posible, que $a>b$ . Entonces $a-b>0$ . Así que, $a-b>1/n$ para algún n. Esto contradice lo que empezamos. Así que esto demuestra $a\leq b$

Answer 2

En primer lugar, tenga en cuenta una pequeña inexactitud en la pregunta: Hay que tener en cuenta la posibilidad de que $a=b$ por lo que la mitad "si" de la "iff" debe ser $a\leq b$ no es una desigualdad estricta.

Para la dirección de avance, estás pensando demasiado: Si $a\leq b$ , y ciertamente $1/n > 0$ Entonces...

Para la inversa, supongamos que $a\leq b+\frac{1}{n}$ para todos $n\in \mathbb{N}$ . Entonces sabes que $a-b\leq \frac{1}{n}$ para todos $n$ . Por lo tanto, $(a-b)n\leq 1$ para todos $n$ . Pero ahora conoces el principio de Arquímedes, así que lo que obliga $a-b$ ¿a qué se debe?