Mapa de volteo en un límite directo de productos tensoriales

Question

Dejemos que $$G_1\xrightarrow{f_1} G_2\xrightarrow{f_2}G_2\to\cdots$$ sea un sistema directo de grupos abelianos con límite directo $(G,\{f_{n,\infty}\}_n)$ . Para cada $n\in\mathbb{N}$ , dejemos que $\tau_n:G_n\otimes _\mathbb{Z}G_n\to G_n\otimes _\mathbb{Z}G_n$ dado por $\tau_n(g\otimes h)=h\otimes g$ en tensores elementales.

Escribir $G=\varinjlim G_n$ , lo hace $\tau_n$ inducir un mapa de "volteo" $\tau:G\otimes G\to G\otimes G$ , $g\otimes h\mapsto h\otimes g$ ? ¿Cómo se verifica que $\tau_n$ ¿se extiende a tal mapa de volteo en los límites directos?

He intentado comprobarlo de la siguiente manera: Al principio consideré $(f_{n,\infty}\otimes f_{n,\infty})\circ \tau_n$ y para comprobar que este mapa se extiende a los límites directos, hay que comprobar que $f_{n-1,\infty}\otimes f_{n-1,\infty}=(f_{n,\infty}\otimes f_{n,\infty})\circ \tau_n\circ (f_{n-1,n}\otimes f_{n-1,n})$ para cada n. Pero tengo que esta ecuación no es verdadera. Y no tengo ninguna otra idea. Entonces, ¿cómo hacer esto?

Answer 1

La ecuación que debes comprobar no es la que has escrito, sino $$(f_{n-1,\infty}\otimes f_{n-1,\infty})\color{red}{\circ\tau_{n-1}}=(f_{n,\infty}\otimes f_{n,\infty})\circ \tau_n\circ (f_{n-1,n}\otimes f_{n-1,n}).$$ Esto garantiza la obtención de un mapa bien definido $\tau:G\otimes G\to G\otimes G$ definiendo $\tau((f_{n,\infty}\otimes f_{n,\infty})(x))=(f_{n,\infty}\otimes f_{n,\infty})(\tau_n(x))$ siempre que $x\in G_n\otimes G_n$ (ya que $G\otimes G$ es el límite directo del sistema formado por el $G_n\otimes G_n$ ). La comprobación de esta ecuación es sencilla: ya que $G_{n-1}\otimes G_{n-1}$ es generado por elementos de la forma $a\otimes b$ basta con comprobarlo cuando cada lado se evalúa en dicho elemento, y ambos lados se evalúan a $f_{n-1,\infty}(b)\otimes f_{n-1,\infty}(a)$ (el lado derecho lo hace ya que $f_{n,\infty}\circ f_{n-1,n}=f_{n-1,\infty})$ .

Esto le da un mapa $\tau:G\otimes G\to G\otimes G$ . Para comprobar que se trata del mapa de volteo, basta con comprobar que $\tau(a\otimes b)=b\otimes a$ para cualquier $a,b\in G$ . Pero para cualquier $a,b\in G$ hay algo de $n$ y $c,d\in G_n$ tal que $a=f_{n,\infty}(c)$ y $b=f_{n,\infty}(d)$ y tenemos $$\tau(a\otimes b)=\tau((f_{n,\infty}\otimes f_{n,\infty})(c\otimes d))=(f_{n,\infty}\otimes f_{n,\infty})(\tau_n(c\otimes d))=(f_{n,\infty}\otimes f_{n,\infty})(d\otimes c)=b\otimes a.$$