¿Cuál es la intuición detrás del teorema de sustitución de los espacios vectoriales?
Declaración
Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial generado por el conjunto $G$ que contiene exactamente $n$ vectores, y dejemos que $L$ sea un subconjunto linealmente independiente de $V$ que contiene exactamente $m$ vectores. Entonces $m \leq n$ y existe un subconjunto H de G que contiene exactamente $n-m$ vectores tales que $L \cup H$ genera V
Gracias
Sólo para que esto tenga una respuesta:
En primer lugar, supongo que sabes cómo va la prueba, $L$ y encontrar $H$ se eligen vectores en el complemento del tramo de $L$ .
La intuición detrás de esto supongo que es que dado un conjunto $L$ de vectores linealmente independientes de un espacio $V$ se puede completar esto (de forma no única) a una base para $V$ .
Por ejemplo $\Bbb R^3$ y $L=\{(1,0,0)\}$ está la forma obvia de completar esto a la base estándar, o simplemente elegir dos vectores linealmente independientes con un cero en la primera entrada como $(0,1,1)$ y $(0,1,-1)$ .
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Básicamente, sólo existe un espacio vectorial (hasta el isomorfismo) sobre un campo $K$ de dimensión $n$ . Así que cualquier base de tamaño $m$ combinado con una base separada de tamaño $n - m$ genera "an" $n$ -espacio vectorial dimensional, que en realidad es "el" $n$ -sobre $K$ .