Densidad conjunta de los tiempos de llegada del proceso de Poisson

Question

Si tenemos un proceso de Poisson de tasa $x$ y queremos encontrar la densidad conjunta de $T_1$ (primera hora de llegada) y $T_2$ (segunda hora de llegada), entonces $$ \begin{align} P(T_1 < a,T_2 < b) &= P(T_2 < b \vert T_1 < a)P(T_1 < a)\\ &= P(T_2-T_1 < b-a)P(T_1 < a)\\ &= (1-e^{-x(b-a)})(1-e^{-xa})\quad \textrm{since interarrival times are i.i.d exp(x)}\\ &= 1 - e^{-xa} + e^{-xb} - e^{-x(b-a)} \end{align} $$

Entonces diferencio esto con respecto a $a$ y luego diferenciar con respecto a $b$ y esto hace que la densidad sea $$ f(a,b) = x^2e^{-x(b-a)} $$ sin embargo la respuesta debe ser $$ x^2e^{-xb} $$

¿Cuál es mi error?

Answer 1

La línea 1 es incorrecta. $\{T_2-T_1 \le b-a, T_1 \le a\}$ es un subconjunto de $\{T_1 \le a, T_2 \le b \}$ . Por ejemplo $T_1=0$ y $T_2=b$ no está en $\{T_2-T_1 \le b-a, T_1 \le a\}.$ En cambio, condiciona a un valor determinado de $T_1.$ $$P(T_1\le a,T_2\le b)=\int_0^a P(T_2-T_1\le b-t \space | \space T_1=t)f_{T_1}(t)dt$$ Esto se convierte en $$\int_0^a (1-e^{-x(b-t)} )xe^{-xt}dt$$ y se evalúa como $$1-e^{-xa}-xae^{-xb} $$ en el campo de tiro $0<a<b.$ Si sólo necesita la densidad de la junta, puede anotarla inmediatamente: $$f_{T_1,T_2}(a,b)= f_{T_1,T_2-T_1}(a,b-a)=f_{T_1}(a)f_{T_2-T_1}(a,b-a)=x^2e^{-xb} , \space 0<a<b. $$ (Para ser precisos, tendrías que pasar por el formalismo de cambio de variable con el Jacobeo, pero puede que no lo hayas estudiado todavía).

Answer 2

Alternativamente, puede encontrar el resultado de la siguiente manera. Obsérvese que, la probabilidad conjunta puede escribirse como la ecuación siguiente, utilizando la regla de la cadena para la probabilidad. $$P\left(T_2, T_1\right) = P\left(T_2|T_1\right)P\left(T_1\right)$$

En primer lugar, encontremos la función de distribución acumulativa (fdc) complementaria para el primer término del lado derecho (Se puede encontrar una derivación idéntica en https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_distribution#Memorylessness .

$$ \begin{align}\label{prob2} P\left(T>T_2|T>T_1\right) =& P\left(T> T_1 + \left(T_2 - T_1\right)|T>T_1\right) \\ & =\frac{P\left(T> T_1 + \left(T_2 - T_1\right) \cap T>T_1\right) }{P\left(T>T_1\right)} \\ & =\frac{P\left(T> T_1 + \left(T_2 - T_1\right)\right) }{P\left(T>T_1\right)} \\ & =\frac{e^{-\lambda_{p}\left(T_1 + \left(T_2 - T_1\right)\right)}}{e^{-\lambda_{p}\left(T_1\right)}} \\ & =e^{-\lambda_{p}\left(T_2 - T_1\right)} \end{align} $$ Por lo tanto, la fdc para $P\left(T<T_2|T>T_1\right)$ es $1- e^{-\lambda_{p}\left(T_2 - T_1\right)}$ y tomando la derivada con respecto a nuestra variable temporal ( $T_2 - T_1$ ) encontramos el pdf, $\lambda e^{-\lambda_{p}\left(T_2 - T_1\right)}$ . Finalmente insertamos el pdf en nuestra expresión inicial.

$$P\left(T_2, T_1\right) = \lambda e^{-\lambda_{p}\left(T_2 - T_1\right)}\lambda e^{-\lambda_{p}T_1} =\lambda^2 e^{-\lambda_{p}T_2} $$