Dejemos que $F$ sea una métrica de Finsler y $g$ una métrica riemanniana para $M$ . ¿Existe en las variedades de Finsler una curvatura similar a la curvatura media de las variedades de Riemann, tal que si $F=\sqrt{g}$ ¿entonces ambas curvaturas son iguales?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Elad Benda
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He encontrado una definición de la curvatura media de una hipersuperficie en la geometría de Finsler por Z. Shen en su libro Lectures on Finsler geometry. Lo encontrarás en el capítulo 14. Para ser honesto no lo entendí hasta el momento. Si lo lees y tienes algún comentario, por favor házmelo saber.
La definición es bastante inteligente. En lugar de preocuparse por las "direcciones normales", cuya definición no es tan clara en el caso de Finsler, Shen utiliza como sustituto una foliación basada en una "función de distancia". Básicamente, dada una hipersuperficie $N \subset M$ donde $M$ tiene una estructura de Finsler $F$ Shen define la curvatura media como sigue:
- Primero encontrar una solución (local) $\rho \in C^\infty(M)$ a la ecuación de Eikonal $F(\nabla \rho) = 0$ cuando $\rho|_N = 0$ . El gradiente de $\rho$ entonces debe corresponden a algún tipo de dirección normal a $N$ .
- La estructura de Finsler en $M$ induce una noción de área en los conjuntos de niveles de $\rho$ que son hipersuperficies.
- La curvatura media es entonces la "log-derivada" del área, de forma análoga a como se define mediante la variación del área en la geometría de Riemann.
