¿Por qué los personajes se portan tan bien?

Question

El año pasado asistí a un primer curso de teoría de la representación de grupos finitos, en el que todo era sobre C. Me llamó la atención, y me desconcertó un poco, la inexplicable perfección de los caracteres como herramienta para estudiar las representaciones de un grupo; clasifican los módulos hasta el isomorfismo, los caracteres de los módulos irreducibles forman una base ortonormal para el espacio de las funciones de clase, y otros hechos por el estilo.

A mí los caracteres me parecen un objeto de estudio arbitrario (¿por qué tomar la traza y no cualquier otro coeficiente del polinomio característico?), y nunca he visto que se dé ninguna intuición para su desarrollo que no sea "probamos esto, y funciona de maravilla". La prueba de las relaciones de ortogonalidad es elemental pero, para mí, no arroja ninguna luz; entiendo el buen comportamiento de los caracteres con respecto a las sumas directas y los productos tensoriales, y comprendo su conveniencia, pero está claro que eso no es todo lo que ocurre aquí. Así que, mi pregunta: ¿hay alguna razón de alto nivel por la que los caracteres de grupo son tan mágicos como lo son, o es todo una mera coincidencia? ¿O simplemente soy incapaz de ver lo bien motivada que está la prueba de ortogonalidad?

Answer 1

La ortogonalidad tiene sentido sin la teoría del carácter. Hay un producto interno en el espacio de representaciones dado por $\dim \operatorname {Hom}(V, W)$ . Por el lema de Schur los irreps son una base ortonormal. Esto es la "ortogonalidad de los caracteres" pero sin los caracteres.

¿Cómo recuperar la versión habitual a partir de esta versión conceptual? Aviso $$\dim \operatorname{Hom}(V,W) = \dim \operatorname{Hom}(V \otimes W^*, 1)$$ donde $1$ es la representación trivial. Por lo tanto, para concretar la teoría, hay que saber elegir la parte trivial de una representación. Esto viene dado por la imagen de la proyección $\frac1{|G|} \sum_{g\in G} g$ .
La dimensión de un espacio es la misma que la traza de la proyección sobre ese espacio, por lo que $$ \def\H{\rule{0pt}{1.5ex}H} \dim \operatorname{Hom}(V \otimes W^*, 1) = \operatorname{tr}\left(\frac1{|G|} \sum_{g\in G} {\large \rho}_{\small V \otimes W^*}(g)\right) = \frac1{|G|} \sum_{g\in G} {\large\chi}_{V}(g)\ {\large\chi}_{W}\left(g^{-1}\right) \\ $$ utilizando las propiedades de la traza bajo el producto tensorial y los duales.

Answer 2

La traza es la forma más general que tenemos para proyectar linealmente una situación no abeliana (matrices) a una situación abeliana (escalares): tr(AB)=tr(BA). Al utilizar la traza, la teoría de la representación de los grupos no abelianos empieza a parecerse a la teoría de la representación de los grupos abelianos, es decir, al análisis de Fourier. (Nótese, sin embargo, que la correspondencia se vuelve menos estrecha cuando se consideran productos triples: tr(ABC) != tr(CBA). Por razones relacionadas (aunque no idénticas), la teoría de los productos tensoriales de representaciones es mucho más rica en el mundo no abeliano (coeficientes de Littlewood-Richardson, etc.) que en el mundo abeliano (convolución), y los caracteres no son siempre la mejor manera de proceder en este caso).

Por supuesto, esto plantea la cuestión de por qué el análisis de Fourier es tan milagroso, pero tiendo a tomarlo como algo axiomático. :-)

Answer 3

En cuanto a "¿por qué tomar la traza y no cualquier otro coeficiente del polinomio característico?", observe que por razones completamente elementales la traza de toda la representación sigue conociendo el polinomio característico de cada elemento individual: por ejemplo, el coeficiente de la segunda parte del polinomio característico de rho(g) es 1/2(tr(rho(g))^2 - tr(rho(g^2)). Escribir la fórmula de los coeficientes siguientes es un ejercicio con funciones simétricas. Por otro lado, los coeficientes superiores del polinomio característico sí pierden información -- por ejemplo, las representaciones no isomórficas suelen tener el mismo determinante.

Answer 4

Tal vez sea una tontería añadir esto como una respuesta separada, ya que Noah básicamente dijo lo que yo habría dicho, pero no hizo hincapié en la versión de una sola frase de la respuesta: "la dimensión de un subespacio es la traza de la proyección a ese subespacio".

Eso y la linealidad son lo especial de Trace.

Answer 5

Aquí hay otra respuesta: el anillo de representación de G y el centro de k[G] son ambos álgebras conmutativas. Cuando su campo base es C, ambos son isomorfos entre sí, y son ambos isomorfos a C^{r}. Las filas y columnas de la tabla de caracteres dan este isomorfismo explícitamente.

Cuando se hace teoría de la representación en otros contextos, la mayoría de las afirmaciones sobre los caracteres se convierten en afirmaciones sobre el anillo de representación o en afirmaciones sobre el centro de k[G]. Pero la falta de una presentación explícita del anillo significa que hay que trabajar más.