Al multiplicar y luego dividir por un número en aritmética modular que es un factor del mod p, ¿por qué p no se reduce dando más soluciones?

Question

Ejemplo: $7x\equiv 3 \mod 12$

solución: $x=9+12t$

¿Y si dijera $$2*[7x\equiv 3 \mod 12]$$ $$(14x\equiv 6 \mod 12)\div 2$$ $$7x\equiv 3 \mod \frac{12}{gcd(12,2)}$$ $$3*7x\equiv 3*3 \pmod 6$$ $$-3x\equiv 3 \pmod 6$$ $$-x\equiv 1 \mod {\frac{6}{\gcd(3,6)}}$$ $$x\equiv -1 \pmod 2$$ $$x\equiv 1 \pmod 2$$ $$x=1+2t$$

¿Cuál es mi malentendido/equivocación sobre las reglas que añade las soluciones 1,2,3$ etc...

Answer 1

Lo que ocurre básicamente aquí es que estás descarte de información sobre $x$ , haciendo que el conjunto de soluciones parezca más amplio de lo que realmente es.

Dado que $7x\equiv 3 \bmod 12 $ es ciertamente verdadero que $7x\equiv 1 \bmod 2 $ u otras afirmaciones que utilizan una base que divide $12$ . Pero si sólo utiliza estas equivalencias reducidas, permitirá soluciones excluidas por la condición completa (además de incluir soluciones correctas).

Poner sus declaraciones al lado de las declaraciones de divisibilidad implícita:

$$\begin{array}{c|cl} 7x\equiv 3 \bmod 12 & 7x-3 = 12k \\ 2\times[7x\equiv 3 \bmod 12] & 2(7x-3) = 2\cdot 12k \\ [ 14x\equiv 6 \bmod 12 ] / 2 & (14x-6)/2 = 12k /2 & \quad \small\color{brown}{\text{not equivalent to line above}} \\ 7x\equiv 3 \bmod \frac{12}{gcd(12,2)} & 7x-3 = (12/2)k\\ x\equiv 1\pmod 2 & x-1 = 2k'& \quad \small\color{brown}{12/2 \ne 2}\\ \end{array}$$