Transformada discreta de Fourier 2D para una superficie irregular en 3D

Question

Me gustaría saber si hay una manera de calcular la transformada discreta de Fourier en 2D a partir de muestras recogidas de una rejilla de electrodos colocados en una superficie (no esférica). La rejilla no es rectangular/uniforme. La superficie es en realidad el cuero cabelludo.

Muchas gracias, Cesare

Answer 1

Supongo que la cuestión aquí es qué significa una "transformada de Fourier discreta" en una cuadrícula arbitraria no plana.

Un enfoque natural es pensar en la transformada discreta de Fourier como la expansión de una función en la base de las funciones propias del Laplaciano, $$f(x,y) = \sum_{i} \alpha_i b_i(x,y)$$ donde el $\Delta b_i = \lambda_i b_i$ donde en el caso de una región rectangular del plano obtenemos que el $b_i$ son los senos y cosenos habituales.

Esta idea se puede generalizar a su red. Supongamos que $p_{i,j}$ son las posiciones de una cuadrícula de puntos en el espacio que definen su superficie, organizada en $R$ filas $i$ y $C$ columnas $j$ . Podemos escribir un operador lineal $L:\mathbb{R}^{RC} \to \mathbb{R}^{RC}$ que discretiza el operador de Laplace-Beltrami en su superficie. Hay que tener cierto cuidado para (1) tener en cuenta correctamente el hecho de que los puntos de la malla no están espaciados uniformemente, y que las celdas de la malla no son necesariamente planas, y (2) tener en cuenta correctamente las condiciones de contorno.(*) Este documento, por ejemplo, puede servir para empezar a hacerlo: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0898122107005731

Entonces toma $L$ La señal de la que se trata es una señal de la que no se puede prescindir, y se pueden encontrar sus vectores propios (por ejemplo, mediante la descomposición de su valor singular) y expandirla en la base de los vectores propios.

(*): Las condiciones de contorno de Dirichlet te dan los "senos" y las de Neumann los "cosenos".