Laplaciano de Hodge de la función de distancia

Question

Dejemos que $p$ sea un punto dado en una colosal Riemaniann $\mathcal{M}$ . La función de distancia al punto $p$ se denota $f_p$ : $$ f_p(q) = \operatorname{dist}(p,q)$$ La derivada exterior se denomina $\mathrm{d}$ y la codiferencial se denota $\delta$ . Entonces el laplaciano de Hodge es $\Delta = \mathrm{d}\delta + \delta \mathrm{d} = (\mathrm{d} + \delta)^2$ que se reduce a $\delta \mathrm{d}$ en el caso de las funciones.

Mis preguntas son las siguientes :

• Creo que se puede demostrar que $f_p^2$ (la función de distancia al cuadrado al punto $p$ ) es $C^\infty$ en un barrio de $p$ . ¿Alguien puede confirmarlo?
• ¿Cuál es el valor del laplaciano de Hodge de $f_p^2$ ? Por analogía con el caso $\mathcal{M} = \mathbb{R}^n$ ¿Estoy seguro de que es una función constante? ¿Tenemos $\Delta f_p^2 = 2n$ donde $n$ es la dimensión de $\mathcal{M}$ ?

Answer 1

1) Eliminando primero el lugar de corte de $p$ el subconjunto restante de $M$ es un subconjunto abierto difeomorfo a algún subconjunto abierto de $T_p M$ . Además, si te colocas en coordenadas normales esféricas $(r, \sigma)$ (donde $\sigma$ codifica todas las variables angulares), la función $d_p ^2$ se convierte en $r^2$ que obviamente es suave.

Para una declaración rigurosa (pero siguiendo la misma idea), véase el teorema 3.6 en la página 166, en el capítulo IV de "Foundations of Differential Geometry", volumen 1, de Kobayashi y Nomizu.

2) En las mismas coordenadas normales esféricas, el laplaciano parece

$$\Delta f \ (q) = \frac {\partial ^2 f} {\partial r^2} (q) + H(p,q) \frac {\partial f} {\partial r} (q) + \frac 1 {r^2} \Delta_S f \ (q) ,$$

donde $r = d(p,q)$ , $S$ es la esfera geodésica de radio $r$ centrado en $p$ , $\Delta_S$ es el laplaciano restringido a $S$ y $H(p,q)$ es la curvatura media en $q$ de $S$ . De ello se desprende que

$$\Delta d_p ^2 \ (q) = \Delta r^2 = 2 + H(p,q) 2r = 2 + 2 H(p,q) d_p (q) .$$

En $\Bbb R^n$ la curvatura media de la esfera de radio $r$ es $H = \frac {n-1} r$ por lo que lo anterior se convierte en $2n$ . De lo contrario, como su intuición lo insinuó, la curvatura sí juega un papel y hace que el resultado no sea constante, en general.

Para una formulación alternativa del Laplaciano, véase también página 48 de "Spectral Theory and Geometry", editado por E.B. Davies e Y. Safarov.

Answer 2

La respuesta a su primera pregunta es sí. Puedes ver la función de distancia que has definido $$f_p(q) = d(p, q)$$ como la componente radial de la inversa del mapa exponencial en $p$ . Se sabe que el mapa exponencial es un difeomorfismo en una vecindad $p$ . Se puede definir la vecindad completa en la que es suave en términos de sus puntos conjugados según esto Hilo conductor de Mathoverflow :

La función de distancia es diferenciable en $(p,q) \in M \times M$ si y sólo si existe una única geodésica de longitud minimizada de p a q. Además, la función de distancia es $C^\infty$ en un barrio de $(p,q)$ si y sólo si $p$ y $q$ no son puntos conjugados a lo largo de esta geodésica minimizadora.

En cuanto a la respuesta a tu segunda pregunta, no encuentro un contraejemplo concreto, pero no veo ninguna razón para que sea cierto. Hice varias búsquedas en la literatura y encontré referencias a la limitación del laplaciano de las funciones de distancia. por ejemplo, en Sobre la estructura diferencial de los espacios de medidas métricas y aplicaciones se indica en la página $2$ que $$\Delta f_p(q) \leq \frac{n - 1}{f_p(q)}$$ cuando $M$ es una variedad con curvatura de Ricci no negativa.