Cómo calcular el MGF para una variable aleatoria de Poisson

Question

$\phi (t)=\sum_{n=0}^{\infty}e^{tn}\cdot \frac{\lambda^{n}}{n!}e^{-\lambda}$

$=e^{-\lambda}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(e^{t}\lambda)^{n}}{n!}$

$=e^{-\lambda+\lambda e^{t}}$ Estoy confundido aquí como $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(e^{t}\lambda)^{n}}{n!}$ se simplifica a $e^{\lambda e^{t}}$ ¿alguien puede explicarlo?

Answer 1

[Editar: Quizás la forma más fácil de verlo es intentarlo al revés. Ampliar $\exp(\lambda e^t)$ como una serie en $(\lambda e^t)$ .]

Es directamente de la serie para $\exp(x)$

$$\exp(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!} + ... = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$$

Tenga en cuenta que en esa serie, $x$ es una constante; la variable ficticia es $n$ . Así que mientras la suma converja, cualquier otra constante funcionará igual de bien. Como la serie converge para cualquier argumento finito, eso funciona sin ningún problema.

Así, por ejemplo $\sum_{n=0}^\infty \frac{f(w)^n}{n!} = \exp(f(w))$ Siempre y cuando $f(w)$ es finito ... por lo que funciona para cualquier valor finito $f(w)$ .

Ahora bien, si $x= \lambda e^t$ , se obtiene la expresión.

Es decir, esa es la serie para $\exp(\lambda e^t)$ .