Pregunta simple de mecánica cuántica sobre el conmutador de operadores de traslación

Question

Digamos que hay $\hat{J} = \exp[-i \hat{p} l/ \hbar]$ y $\hat{U}= \exp[-i\hat{H}t/ \hbar]$ , donde $\hat{H}$ es independiente del tiempo.

¿Podemos decir algo sobre $[\hat{J},\hat{U}]$ ? ¿Es cero? ¿Cómo lo demostramos?

Por ejemplo, si $\hat{H} = \hat{p}^2 /2m + m\omega^2 \hat{x}^2/2$ .

Answer 1

Obsérvese que en el caso muy particular del oscilador armónico cuántico es interesante utilizar diferentes representaciones. Por ejemplo:

$$P \sim i(a-a^+), H \sim a^+a \tag{1}$$

Usted tiene fórmula que permiten desentrañar $a$ y $a^+$ (a continuación $\lambda$ es real):

$$e^{\lambda(a^+-a)}=e^{\lambda a^+} e^{-\lambda a} e^{- \frac{\lambda^2}{2} }\tag{2}$$

Esto reduce el problema de encontrar un conmutador $[e^{-i\alpha P}, e^{-i\beta H}]$ para encontrar conmutadores $[e^{\alpha a}, e^{-i\beta a^+a}]$ y $[e^{-\alpha a^+}, e^{-i\beta a^+a}]$ .

Answer 2

Esta es una buena fórmula para recordar, o al menos, para pensar en ella, cuando se trata del exponencial de los operadores:

Fórmula Baker-Campbell-Hausdorff

En particular, para su caso, el identidad del trenzado es útil. Vemos que $[J,U] \neq 0$ .