Multivectorial o forma en componentes de base

Question

Estoy leyendo Sistemas diferenciales exteriores por Bryant, Chern, Gardner, Goldschmidt y Griffiths.

Dicen,

Dejemos que $e_i$ sea una base de $V$ y $\omega^k$ su doble base, por lo que $$\langle e_i,\omega^k\rangle = \delta^k_i, \quad 1\le i,k \le n.$$ Entonces un elemento $\xi\in\Lambda^p(V)$ se puede escribir $$ \xi=1/p!\sum a^{i_1\cdots i_p}e_{i_1}\wedge\cdots \wedge e_{i_p} $$ y un elemento $\alpha \in \Lambda^p(V^\ast)$ como $$ \alpha=1/p!\sum b_{i_1\cdots i_p}\omega^{i_1}\wedge \cdots \wedge \omega^{i_p}. $$ [donde] los coeficientes $a^{i_1\cdots i_p}$ y $b_{i_1\cdots i_p}$ se supone que son antisimétricos en dos de sus índices cualesquiera, por lo que están bien definidos. Se deduce que cualquier multivector es una combinación lineal de multivectores descomponibles.

¿Dónde está el $1/p!$ ¿de dónde viene el término?

También tengo dudas sobre la notación de los coeficientes $a^{i_1\cdots i_p}$ y $b_{i_1\cdots i_p}$ . ¿Cómo se definen?

Answer 1

Los productos cuña en la suma son una base del álgebra exterior, por lo que esto es sólo decir que abarcan, es decir, todo es una suma de ellos. Pero, por ejemplo, $e_1\wedge e_2=-e_2\wedge e_1$ Así que las sumas anteriores, que aparentemente son sobre todo $i_1,\cdots, i_p$ , tienen una gran cantidad de réplicas. Porque hay $p!$ permutaciones de $p$ objetos, si los coeficientes $a^{i_1\cdots i_p}$ son antisimétricos, entonces habrá $p!$ réplicas de las mismas. Así que, por comodidad, la suma se divide por $p!$ y entonces los coeficientes son los mismos que la base obtenida de la suma sobre tuplas ordenadas $(i_1,\cdots,i_p)$ que en realidad es la base habitual. Si no lo hicieras, los coeficientes anteriores se desviarían de la base habitual por un factor de $p!$ que no sería el fin del mundo, pero no fue la elección que se hizo aquí.