Putnam: Demostrar que $a(n)=b(n+2)$

Question

Dejemos que $a(n)$ sea el número de representaciones de enteros positivos $n$ como una suma de 1's y 2's teniendo en cuenta el orden.

$$ \text{Example $ n=4 $: } (1+1+1+1), (1+2+1),(1+1+2),(2+1+1),(2+2)\implies a(4)=5$$

Dejemos que $b(n)$ sea el número de representaciones de $n$ como una suma de enteros $>1$ . $$ \text{Example $ n=6 $: } (3+3), (2+2+2),(4+2),(2+4),(6)\implies b(6)=5$$

Demostrar que $a(n)=b(n+2)$ y encontrar una correspondencia uno a uno entre ellos.

Answer 1

Dada una suma con sumandos $>1$ , sustituye sintácticamente a un sumando $k$ con una secuencia de $k$ veces "1", luego sustituye cualquier aparición de "1+1" por "2". Elimine el primer y el último "1" e inserte los signos "+". Por ejemplo $$3+3\mapsto 111+111\mapsto 11211\mapsto 121\mapsto 1+2+1 $$ $$2+2+2\mapsto 11+11+1\mapsto 1221\mapsto 22\mapsto 2+2 $$ $$4+2\mapsto 1111+11\mapsto 11121\mapsto 112\mapsto 1+1+2 $$ $$2+4\mapsto 11+1111\mapsto 12111\mapsto 211\mapsto 2+1+1 $$ $$6\mapsto 111111\mapsto 111111\mapsto 1111\mapsto 1+1+1+1 $$ Supongo que ves cómo este método es reversible