¿Puede alguien ayudarme a ver por qué lo siguiente es cierto?: $$\operatorname{Spec}( \mathbb{C}[X,X^{-1}])= \mathbb{C}^*$$
Lo han dicho en algo que he leído pero no sé por qué es cierto. Gracias por su ayuda.
Respuesta
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Recordemos que el espectro de un EPI está formado por todos los ideales primos, que son $0$ ou $(p)$ para algún elemento primo $p$ . Ahora $\mathbb{C}[X,X^{-1}]$ es un PID y los elementos primos son los de $\mathbb{C}[X]$ excepto para los asociados de $X$ . Así pues, el espectro se compone de $(0)$ y de todos $(X-a)$ avec $a \in \mathbb{C}^*$ . Como conjunto, tenemos $\mathrm{Spec}(\mathbb{C}[X,X^{-1}]) = \mathbb{C}^* \cup \{\eta\}$ , donde $\eta$ es el punto genérico.
De forma más general (pero esto no es necesario aquí), si $A$ es un anillo conmutativo y $f \in A$ entonces existe un isomorfismo de esquemas $\mathrm{Spec}(A_f) \cong D(f)$ donde este último es el subespacio abierto $\{\mathfrak{p} : f \notin \mathfrak{p}\}$ de $\mathrm{Spec}(A)$ .
