Teorema. Si en un anillo $R$ para cada par de elementos $x$ y $y$ podemos encontrar un entero $n(x, y) > 1$ que depende de $x$ y $y$ para que $x^{n(x,y)}-x$ se desplaza con $y$ , entonces $R$ es conmutativo.
Prueba. Sea $T$ sea el subring de $R$ generado por $x$ y $y$ . Supongamos que $t\in T$ . Así, para algún número entero $m > 1, t_1= t^m - t$ se desplaza con $x$ . Para algún otro enteros $n > 1, t_{2}=t_{1}^{n}-t_{1}$ se desplaza con $y$ . Desde $t_1$ se desplaza con $x$ , $t_2$ también se desplaza con $x$ . Así, $t_2$ se desplaza con ambos $x$ y $y$ y así con cada elemento del subring que generan. Así, $t_2$ está en el centro de $T$ . Sin embargo, $t_2 = t_{1}^{n}-t_{1} = (t^m - t)^n - (t^m - t) = - (t^2p(t) - t)$ donde $p(t)$ es un polinomio con coeficiente entero.
Mi pregunta es por qué la última ecuación es igual a $ - (t^2p(t) - t)$ ?