2 votos

$x^{n(x,y)} - x$ se desplaza con $y$ entonces $R$ es conmutativo

Teorema. Si en un anillo $R$ para cada par de elementos $x$ y $y$ podemos encontrar un entero $n(x, y) > 1$ que depende de $x$ y $y$ para que $x^{n(x,y)}-x$ se desplaza con $y$ , entonces $R$ es conmutativo.

Prueba. Sea $T$ sea el subring de $R$ generado por $x$ y $y$ . Supongamos que $t\in T$ . Así, para algún número entero $m > 1, t_1= t^m - t$ se desplaza con $x$ . Para algún otro enteros $n > 1, t_{2}=t_{1}^{n}-t_{1}$ se desplaza con $y$ . Desde $t_1$ se desplaza con $x$ , $t_2$ también se desplaza con $x$ . Así, $t_2$ se desplaza con ambos $x$ y $y$ y así con cada elemento del subring que generan. Así, $t_2$ está en el centro de $T$ . Sin embargo, $t_2 = t_{1}^{n}-t_{1} = (t^m - t)^n - (t^m - t) = - (t^2p(t) - t)$ donde $p(t)$ es un polinomio con coeficiente entero.

Mi pregunta es por qué la última ecuación es igual a $ - (t^2p(t) - t)$ ?

1voto

Pawel Puntos 28

Desde $m$ y $n$ son ambos mayores que $1$ la expresión $f(t)=(t^m-t)^n-t^m$ es un polinomio en $t$ de grado $nm\ge 4$ . Además, observe que el término de menor grado en $f(t)$ es $t^n$ ou $t^m$ que en ambos casos tienen grado $2$ o mayor. De ello se desprende que podemos factorizar un $-t^2$ de $f(t)$ para dar $f(t)=-t^2p(t)$ .

1voto

user84413 Puntos 16027

Si toma $(t^m-t)^n-t^m$ se puede reescribir como $t^n(t^{m-1}-1)^n-t^m=t^2 p(t)$ para algún polinomio $p(t)$ desde $m>1$ y $n>1$ .

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X