La ley de Poiseuille se basa en el hecho de que la velocidad no es constante en toda la sección transversal de la tubería (es nula en el límite debido a la condición de no deslizamiento y máxima en el centro). Por la Ley de Bernoulli, esto significa que la presión es máxima en el límite y mínima en el centro. Pero en el libro que tengo se supone que el gradiente de presión es independiente del radio (distancia desde el centro de la tubería), y el gradiente de presión se extrae así de una integral de radio. ¿Puede alguien justificar esto?
Respuesta
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En primer lugar, la ley de Bernoulli sólo es aplicable al flujo no viscoso, mientras que la de Poiseuille lo es para el fluido viscoso. El hecho de que la presión sea constante a lo largo de la sección transversal ortogonal de la tubería podría derivarse de la suposición de que el flujo es paralelo, es decir, que en todo el interior de la tubería el campo de velocidad sólo tiene componente z (suponiendo el sistema de coordenadas cilíndricas, con la tubería orientada a lo largo del eje z). Entonces la componente r de la ecuación de Navier-Stokes se reduce a $0 =- \frac1{\rho}\frac{\partial p}{\partial r}$ (todos los términos que contienen componentes de velocidad son iguales a cero aquí), lo que da la presión independiente de la coordenada radial.
La suposición de que el flujo en la tubería sería paralelo en las derivaciones del flujo de Poiseuille es sólo un ansatz, compatible con las simetrías del problema, que se justifica posteriormente al producir la solución correcta de la ecuación de Navier-Stokes. Sin embargo, hay que recordar que dicho flujo sería estable sólo para una viscosidad relativamente grande del fluido (es decir, para un número de Reynolds que no supere un determinado valor crítico).
