Bien, veamos si puedo usar MO para calcular explícitamente un ejemplo de algo, haciendo que otras personas se unan. Una especie de "un nivel superior" - a menudo la gente responde a las preguntas aquí, pero voy a ver si puedo hacer que la gente haga un proyecto más sustancial. Antes de empezar, tened en cuenta
(1) el cómputo podría haberse realizado ya [me encantaría conocer una referencia, si es así]
(2) el cómputo puede o no ser digno de publicarse
(3) Si vale la pena publicarlo, puede haber o no un debate sobre quiénes son los autores.
A mí, personalmente, no me importan (2) ni (3) en este momento, pero a otros sí. Permítanme pasar a las matemáticas. Oh---sólo un par de cosas más antes de empezar---este proyecto está relacionado con las matemáticas en esta pregunta pero tal vez lo lleve un poco más lejos (si conseguimos que funcione). Inicialmente había pensado en estos temas porque iba a dárselos a un estudiante de licenciatura, pero el estudiante me dice hoy que ha decidido hacer su proyecto sobre el caso holomorfo, y me pareció un poco tonto dejar que mi inversión inicial en el problema se desperdiciara, así que pensé en decírselo a quien estuviera interesado. Si nadie pica el anzuelo aquí, probablemente haré otro proyecto UG.
Bien, este es el trato. Digamos que $K/\mathbf{Q}$ es una extensión de Galois finita, y $\rho:Gal(K/\mathbf{Q})\to GL(2,\mathbf{C})$ es una representación bidimensional irreducible. Las conjeturas generales de la filosofía de Langlands predicen que $\rho$ proviene de una forma automórfica en $GL(2)$ en $\mathbf{Q}$ . La idea es que vamos a "ver" esta forma en un ejemplo explícito en el que la teoría general aún no demuestra que exista.
Ahora el determinante de $\rho$ es una representación de Galois unidimensional, y tiene sentido preguntarse si $det(\rho(c))$ es $+1$ ou $-1$ , donde $c$ es la conjugación compleja. Tiene que ser una de estas, porque $c^2=1$ . La naturaleza de la forma automórfica que se predice depende del signo.
Si el determinante es $-1$ entonces la forma debe ser holomorfa, y una forma de cúspide clásica de peso 1. En este caso se conoce la existencia de la forma, porque está implícita en la conjetura de Serre, que ahora es un teorema de Khare y Wintenberger.
Si el determinante es $+1$ entonces la forma conjetural debe ser una función real-analítica en el semiplano superior, invariante bajo un subgrupo de congruencia, y que satisface una cierta ecuación diferencial (que no son las ecuaciones de Cauchy-Riemann en este caso). Si la imagen de $\rho$ es un grupo soluble, entonces la existencia de esta forma es conocida por antiguos trabajos de Langlands y Tunnell.
Así que, en resumen, el único caso en el que no se conoce la forma es cuando el determinante de la conjugación compleja es $+1$ y la imagen de Galois no es resoluble.
He aquí un ejemplo explícito. El polinomio
g5=344 + 3106*x - 1795*x^2 - 780*x^3 - x^4 + x^5tiene campo de división $L$ , un $A_5$ -extensión de $\mathbf{Q}$ ramificado sólo en el primer 1951. Ahora $A_5$ es isomorfo al cociente de $SL(2,\mathbf{F}_5)$ por su centro $\pm 1$ y $L$ tiene una extensión de grado dos $K_0$ también sin ramificar fuera de 1951, con $Gal(K_0/\mathbf{Q})$ ser $SL(2,\mathbf{F}_5)$ . Resulta que $K_0$ puede tomarse como el campo de división del polinomio más complicado
g24 = 14488688572801 - 2922378139308818*x^2 + 134981448876235615*x^4 - 1381768039105642956*x^6 + 4291028045077743465*x^8 - 2050038614413776542*x^10 + 287094814384960835*x^12 - 9040633522810414*x^14 + 63787035668165*x^16 - 158664037068*x^18 + 152929135*x^20 - 50726*x^22 + x^24Tal vez debería decir que David Roberts me contó estos polinomios en enero de 2008; están en un artículo suyo y de John Jones, pero los aprendieron de un artículo de Doud y Moore.
Ahora $SL(2,\mathbf{F}_5)$ tiene dos representaciones complejas bidimensionales fieles; las trazas de cada representación toman valores en $\mathbf{Q}(\sqrt{5})$ y uno es, por supuesto, el conjugado del otro. El determinante de ambas representaciones es trivial así que de hecho son $SL(2,\mathbf{C})$ -valorado. Oh también, todas las raíces de g24 son reales y por lo tanto $K_0$ es totalmente real. Así que lo que tenemos aquí es una representación $$\rho_0:Gal(K_0/\mathbf{Q})\to GL(2,\mathbf{C})$$ que se conjetura que proviene de las formas automórficas, pero, hasta donde yo sé, la conjetura no se conoce en este caso.
Por desgracia, el conductor de $\rho_0$ es $1951^2$ que es un poco grande. De hecho, permítanme decir algo más sobre lo que ocurre en 1951. En el $A_5$ los grupos de descomposición e inercia en 1951 son ambos cíclicos de orden 5. Si mi comprensión de lo que me dijo David Roberts es correcta, en el $SL(2,\mathbf{F}_5)$ extensión los grupos de descomposición e inercia son ambos cíclicos de orden 10 (de hecho acabo de conseguir que magma lo compruebe). Pero el resultado es que $\rho_0$ restringido a un grupo de descomposición en 1951 es de la forma $\psi+\psi^{-1}$ avec $\psi$ de orden 10. ¿Qué carácter de orden 10? Pues hay cuatro caracteres $(\mathbf{Z}/1951\mathbf{Z})^\times\to\mathbf{C}^\times$ de orden 10, y dos de ellos servirán, y dos no, y cuáles servirán depende de qué representación bidimensional de $SL(2,\mathbf{F}_5)$ que usted eligió.
Sin embargo, el punto clave es que si consigues $\psi$ derecho, entonces el giro $\rho:=\rho_0\otimes\psi$ tendrá el conductor 1951, que es pequeño para estos fines.
Ahora, como Marty hizo en un $A_4$ ejemplo y como hice y Junkie hizo en un ejemplo de diedro en la pregunta sobre la forma de Maass citada anteriormente, es posible averiguar explícitamente los números $b_1$ , $b_2$ , $b_3$ ..., con la propiedad de que
$$L(\rho,s)=\sum_{n\geq1}b_n/n^s.$$
Si uno tuviera un programa de ordenador que pudiera calcular $b_n$ para $n\geq1$ Entonces no hay una, sino dos formas en las que se podría intentar dar evidencia computacional a las predicciones dadas por la filosofía de Langlands:
(A) se podrían utilizar las técnicas que Fernando Rodríguez-Villegas me explicó hace unos meses para intentar conseguir pruebas computacionales que $L(\rho,s)$ tenía continuación analítica en el plano complejo y satisfacía la ecuación funcional correcta, y
(B) se podría calcular la correspondiente función analítica real en el semiplano superior, evaluarla en varios lugares con 30 decimales, y ver si la función es invariante bajo el grupo $\Gamma_1(1951)$ .
No sé mucho sobre (A) pero una vez intenté, y fracasé, hacer (B), y mi intuición es que mi error está en el programa de ordenador que escribí para calcular el $b_n$ . Pero como indica la respuesta de junkie en la pregunta anterior, parece que ahora hay varias formas de calcular el $b_n$ y una cosa que me pregunto es si podemos utilizar los métodos que él/ella indicó en esta pregunta.
Permítanme hablar más sobre cómo traté de calcular el $b_n$ . El carácter de la forma Maass es $\psi^2$ el determinante de $\rho$ . La teoría general nos dice que $b_n$ es una función multiplicativa de $n$ por lo que sólo necesitamos calcular $b_n$ para $n$ una potencia principal. De nuevo, la teoría general (considere la $L$ -) dice que para $p\not=1951$ se puede calcular $b_{p^n}$ de $b_p$ . Si $p=1951$ entonces $b_{p^n}=1$ para todos $n$ porque los grupos de descomposición e inercia coinciden para 1951 en $K_0$ [EDIT: Esta parte del argumento es errónea, y explica por qué mis programas no funcionaban. Finalmente descubrí mi error tras comparar la salida de mis programas y los de Junkie y ver en qué se diferenciaban. Es cierto que la descomposición y la inercia coinciden en $K_0$ pero cuando se tuerce por el carácter de orden 10 esto deja de ser cierto. De hecho $b_{1951}$ es una raíz 5ª primitiva de la unidad que no sé cómo calcular con mi método más que por ensayo y error]. Por último, si el $L$ -función de $\rho_0$ es $\sum_n a_n/n^s$ entonces $b_n=\psi(n)a_n$ para todos $n$ primo a 1951, por lo que basta con calcular $a_p$ para $p\not=1951$ .
Para calcular $a_p$ Voy a calcular la traza de $\rho_0(Frob_p)$ . Primero calculo el GCD de los grados de los factores irreducibles de g24 mod $p$ . Si $p$ no divide el discriminante de g24 entonces este GCD es el orden de $Frob_p$ en $SL(2,\mathbf{F}_5)$ . Si $p$ divide el discriminante de g24 entonces mala suerte, necesito factorizar $p$ en el anillo de enteros del campo numérico generado por una raíz de g24. He hecho esto usando magma. Aquí están los resultados:
prime order
2 6
3 10
5 4
163 5
16061 1
889289 10
451400586583 2
1188493301983785760551727 2
120450513180827412314298160097013390669723824832697847 1Ahora bien, desgraciadamente el simple cálculo del orden de la clase conj de Frobenius no es suficiente para determinar la traza de la representación de Galois, porque $SL(2,\mathbf{F}_5)$ contiene dos clases conjuntas de elementos de orden 5, y dos de orden 10. Sin embargo, en ambos casos, las clases conj se mantienen distintas en $A_5$ por lo que basta con tener un algoritmo que pueda distinguir entre las dos clases de conjugación en $A_5$ . Más concretamente, tenemos que resolver el siguiente problema: etiquetamos las clases conjuntas de elementos de orden 5 en $A_5$ como C1 y C2, y queremos un algoritmo que, dado un primo $p$ para el que g5 es irreducible mod $p$ queremos que el algoritmo devuelva "C1" o "C2" dependiendo de la clase $Frob_p$ está en. He aquí una bonita manera de hacerlo, que me explicó Bjorn Poonen: si g5 es irreducible mod $p$ entonces sus raíces en un cierre alg de $\mathbf{F}_p$ son $x,x^p,x^{p^2},...$ . Establecer $x_i=x^{p^i}$ y calcular $\prod_{i<j}(x_i-x_j)$ . Este producto es una raíz cuadrada del discriminante de g5. Elegir de una vez por todas una raíz cuadrada del discriminante de g5 en los enteros; si el producto es congruente con este mod $p$ devuelve "C1", si no devuelve "C2".
¡Eso es! He implementado esto. Tenía un programa que devolvía un montón de $a_n$ y, por lo tanto, un montón de $b_n$ 's. Construí la función en el semiplano superior como la suma habitual que implica funciones de Bessel y demás, pero computacionalmente no resultó ser invariante bajo $\Gamma_1(1951)$ .
Si alguien quiere aceptar el reto de calcular el $b_n$ eso sería genial. He explicado una forma de hacerlo más arriba, pero soy muy consciente de que puede haber otras formas de calcular el $b_n$ análogo al planteamiento del drogadicto de la pregunta anterior.
