Peter May dijo que la topología algebraica es una asignatura que no está bien atendida por sus libros de texto. Lamentablemente, tengo que estar de acuerdo. Aunque tenemos un vagón de carga lleno de excelentes textos de topología algebraica de primer año -tanto geométricos, como los de Allen Hatcher, como los centrados en el álgebra, como el de Rotman y, más recientemente, el hermoso texto de Tom Dieck (que reseñaré para MAA Online dentro de dos semanas, ¡estén atentos!)-, casi no hay textos que acerquen al lector siquiera a las fronteras de la materia.
La topología geométrica cuenta con bastantes libros que presentan sus fundamentos modernos a los lectores estudiantes de posgrado -me vienen a la mente los libros de Thurston, Kirby y Vassiliev-, pero la gran mayoría de los textos de topología algebraica están empantanados en material que era viejo cuando Ronald Reagan era presidente de los Estados Unidos. Esto se debe en parte a la juventud del tema, pero creo que se debe más a la enorme amplitud del tema en la actualidad. Escribir un libro de texto de topología algebraica de vanguardia - TEXTO, no MONOGRAFÍA - es un poco como tratar de escribir uno sobre álgebra o análisis. Los campos son tan gigantescos y crecientes que la tarea parece insuperable.
Sólo hay dos libros de texto avanzados "estándar" en topología algebraica y ambos tienen ya más de 30 años: Robert Switzer Topología algebraica: homología y homotopía y la de George Whitehead Elementos de la teoría de la homotopía . La teoría de la homotopía, en particular, ha sufrido una transformación completa y una expansión explosiva desde que Whitehead escribió su libro. (Dicho esto, el hecho de que este clásico esté descatalogado es un crimen.) Hay un hermoso libro de texto reciente que es una muy buena adición a la literatura, el de Davis y Kirk Conferencias sobre topología algebraica - pero la mayor parte del material de ese libro es anterior a 1980 y se centra en los aspectos geométricos del tema.
Necesitamos un libro que analice el tema en su estado actual y prepare a los estudiantes avanzados para la literatura de investigación y las monografías especializadas, así como que haga el tema accesible al matemático no experto que quiere aprender el estado del arte pero no ahogarse en él. El hombre más cualificado para escribir ese texto es el que pronunció las palabras con las que empecé este post. Su hermoso y conciso curso es un clásico por una buena razón; rara vez tenemos un experto que nos dé su "opinión" sobre un campo. Es demasiado difícil para un primer curso, incluso para los mejores estudiantes, pero es una lectura complementaria "imprescindible". Me gustaría que el Dr. May -quizá cuando se jubile- encuentre tiempo para escribir un texto verdaderamente completo sobre el tema en el que ha tenido un efecto tan profundo. ¿Alguien tiene noticias al respecto de futuros textos avanzados de topología?
Voy a cerrar esta caja y a abrirla compartiendo lo que puede ser el primer libro de texto de este tipo disponible como un conjunto masivo de apuntes en línea. Acabo de descubrirlo esta noche; es de Garth Warner, de la Universidad de Washington, y se puede descargar gratuitamente en su sitio web. No sé si es la respuesta, pero parece un gran paso en la dirección correcta. Que lo disfruten. Y por favor, comenten aquí. http://www.math.washington.edu/~warner/TTHT_Warner.pdf
