Topología algebraica más allá de lo básico: ¿algún texto que salve la distancia?

Question

Peter May dijo que la topología algebraica es una asignatura que no está bien atendida por sus libros de texto. Lamentablemente, tengo que estar de acuerdo. Aunque tenemos un vagón de carga lleno de excelentes textos de topología algebraica de primer año -tanto geométricos, como los de Allen Hatcher, como los centrados en el álgebra, como el de Rotman y, más recientemente, el hermoso texto de Tom Dieck (que reseñaré para MAA Online dentro de dos semanas, ¡estén atentos!)-, casi no hay textos que acerquen al lector siquiera a las fronteras de la materia.

La topología geométrica cuenta con bastantes libros que presentan sus fundamentos modernos a los lectores estudiantes de posgrado -me vienen a la mente los libros de Thurston, Kirby y Vassiliev-, pero la gran mayoría de los textos de topología algebraica están empantanados en material que era viejo cuando Ronald Reagan era presidente de los Estados Unidos. Esto se debe en parte a la juventud del tema, pero creo que se debe más a la enorme amplitud del tema en la actualidad. Escribir un libro de texto de topología algebraica de vanguardia - TEXTO, no MONOGRAFÍA - es un poco como tratar de escribir uno sobre álgebra o análisis. Los campos son tan gigantescos y crecientes que la tarea parece insuperable.

Sólo hay dos libros de texto avanzados "estándar" en topología algebraica y ambos tienen ya más de 30 años: Robert Switzer Topología algebraica: homología y homotopía y la de George Whitehead Elementos de la teoría de la homotopía . La teoría de la homotopía, en particular, ha sufrido una transformación completa y una expansión explosiva desde que Whitehead escribió su libro. (Dicho esto, el hecho de que este clásico esté descatalogado es un crimen.) Hay un hermoso libro de texto reciente que es una muy buena adición a la literatura, el de Davis y Kirk Conferencias sobre topología algebraica - pero la mayor parte del material de ese libro es anterior a 1980 y se centra en los aspectos geométricos del tema.

Necesitamos un libro que analice el tema en su estado actual y prepare a los estudiantes avanzados para la literatura de investigación y las monografías especializadas, así como que haga el tema accesible al matemático no experto que quiere aprender el estado del arte pero no ahogarse en él. El hombre más cualificado para escribir ese texto es el que pronunció las palabras con las que empecé este post. Su hermoso y conciso curso es un clásico por una buena razón; rara vez tenemos un experto que nos dé su "opinión" sobre un campo. Es demasiado difícil para un primer curso, incluso para los mejores estudiantes, pero es una lectura complementaria "imprescindible". Me gustaría que el Dr. May -quizá cuando se jubile- encuentre tiempo para escribir un texto verdaderamente completo sobre el tema en el que ha tenido un efecto tan profundo. ¿Alguien tiene noticias al respecto de futuros textos avanzados de topología?

Voy a cerrar esta caja y a abrirla compartiendo lo que puede ser el primer libro de texto de este tipo disponible como un conjunto masivo de apuntes en línea. Acabo de descubrirlo esta noche; es de Garth Warner, de la Universidad de Washington, y se puede descargar gratuitamente en su sitio web. No sé si es la respuesta, pero parece un gran paso en la dirección correcta. Que lo disfruten. Y por favor, comenten aquí. http://www.math.washington.edu/~warner/TTHT_Warner.pdf

Answer 1

Se dice que Peter May, en colaboración con Kate Ponto, está escribiendo una continuación de su curso conciso (con un título como "More concise algebraic topology"). He visto partes de él, y parece que contiene buenos tratamientos de las localizaciones y las terminaciones de los espacios, la teoría de las categorías de modelos y la teoría de las álgebras de Hopf. No tengo ni idea de qué más puede contener ni de cuándo saldrá a la venta, pero si estáis interesados puede valer la pena escribir a cualquiera de los autores para obtener más detalles.

Answer 2

Los textos estándar (Hatcher, May, etc.) abarcan material que, en gran parte, se comprendía en 1950, aunque este material se filtra -de forma evidente, en el texto de May- a través de las perspectivas y sensibilidades modernas de los autores. Eso deja otro medio siglo de desarrollo. Así que, como seguimiento de la topología algebraica de primer año -aún lejos de la vanguardia, pero muy relevante para alcanzarla-, ¿puedo recomendar la lectura de algunos de los artículos clásicos de mediados del siglo XX?

Muchos son fáciles de encontrar en Internet. Varios -¡no, muchos! - están escritos por grandes matemáticos y grandes expositores. Para mí, el material es más emocionante en las palabras de sus descubridores. Mucha gente tendrá sus propios favoritos; mi lista está inclinada hacia la topología diferencial.

Una pareja de Serre. Homología singular de los espacios de fibras tiene un relato tan claro y económico de las secuencias espectrales como el que he visto en cualquier lugar. El método de Grupos de homotopía y clases de grupos abelianos puede considerarse anticuado, pero da una fuerte muestra de lo que la localización puede lograr (por ejemplo, dónde está el primer $p$ -torsión en los tallos estables).

Tres trabajos que logran un perfecto maridaje entre la topología algebraica y la geometría diferencial: Thom's Algunas propiedades de las variedades diferenciables fundó la teoría del cobordismo. Kervaire-Milnor Grupos de esferas de homotopía I esencialmente comenzó la teoría de la cirugía. Ambos son asombrosamente previsores. Por último, Deligne-Griffiths-Morgan-Sullivan Teoría de la homotopía real de las variedades de Kähler Los modelos mínimos son cosas que se pueden construir en casa.

Answer 3

ACTUALIZADO. Después de que Peter May y Kate Ponto publicaran su nuevo libro, hay introducciones muy amenas a muchos de los temas del "segundo nivel" de la topología algebraica.

• Hay un libro maravilloso sobre Operaciones de Cohomología de Mosher y Tangora. Es delgado (y sólo trata un tema), pero muy bonito.

• May & Ponto's nuevo libro es muy bonito. Abarca tres temas (el comentario del profesor May más arriba tiene detalles) + un apéndice sobre las secuencias espectrales, que es corto pero muy al grano. Solía temer que cualquier libro de May fuera secretamente sobre teoría de categorías, pero eso no es cierto en 3/4 partes de éste (a menos que el secreto esté muy bien escondido).

• Hay una muy buena, y completa libro de Fomenko y Fuks (¿o Fuchs?) sobre la teoría de la homotopía. Sólo he visto la versión rusa (así que no puedo dar fe de la traducción). Tampoco es muy conocido, y no es muy fácil de encontrar, lo cual es una pena (la versión rusa es más fácil de conseguir). Tiene un montón de cosas, incluyendo una de las mejores introducciones a las secuencias espectrales (aunque no conozco ningún libro que lo haga bien. La tesis de Serre es buena, las notas de Hatcher están bien, pero parece que este tema se aprende mejor en una buena clase). También es muy legible. Aquí hay un revisar (probablemente se requiera acceso institucional) con una descripción de su contenido.

Answer 4

He escrito algunas notas detalladas de la conferencia

Introducción a la teoría de la homotopía estable

Preludio -- Teoría clásica de la homotopía ( pdf , 99 páginas)

Parte 1 -- Teoría de la homotopía estable

• Parte 1.1 -- Espectros secuenciales ( pdf , 67 páginas)

• Parte 1.2 -- Espectros estructurados ( pdf (80 páginas)

Parte 2 -- Secuencias espectrales de Adams ( pdf (56 páginas)

Esto introduce y luego procede sistemáticamente a través de categorías de modelos. Se ofrecen detalles y pruebas completas.

Para ver la versión web necesitas el navegador Firefox

Answer 5

En primer lugar quiero comentar que más allá de los dos "libros de texto estándar" que mencionó Andrew L. (Switzer y Whitehead), existe al menos el clásico de Adams "Stable Homotopy and Generalised Homology", que profundiza en algunos aspectos más que Switzer. Además de esto, quiero mencionar dos libros más recientes:

• Neisendorfer's Métodos algebraicos en la teoría de la homotopía inestable . Quizá no esté perfectamente editado, pero parece una lectura esencial como fuente para la moderna teoría de la homotopía inestable.
• Kochman's Bordismo, homotopía estable y secuencias espectrales de Adams . Trata muy pronto de las secuencias espectrales y demuestra algunos resultados estándar en la teoría clásica de la homotopía a través de ellas (como Blakers-Massey, Freudenthal ) En seguida introduce la categoría estable y calcula los primeros 20 grupos estables de homotopía de la esfera (más o menos). También trata las clases características y el bordismo. El tratamiento de la categoría estable no es realmente de mi gusto, pero el libro definitivamente merece una mirada.