Topología algebraica más allá de lo básico: ¿algún texto que salve la distancia?

Question

Peter May dijo que la topología algebraica es una asignatura que no está bien atendida por sus libros de texto. Lamentablemente, tengo que estar de acuerdo. Aunque tenemos un vagón de carga lleno de excelentes textos de topología algebraica de primer año -tanto geométricos, como los de Allen Hatcher, como los centrados en el álgebra, como el de Rotman y, más recientemente, el hermoso texto de Tom Dieck (que reseñaré para MAA Online dentro de dos semanas, ¡estén atentos!)-, casi no hay textos que acerquen al lector siquiera a las fronteras de la materia.

La topología geométrica cuenta con bastantes libros que presentan sus fundamentos modernos a los lectores estudiantes de posgrado -me vienen a la mente los libros de Thurston, Kirby y Vassiliev-, pero la gran mayoría de los textos de topología algebraica están empantanados en material que era viejo cuando Ronald Reagan era presidente de los Estados Unidos. Esto se debe en parte a la juventud del tema, pero creo que se debe más a la enorme amplitud del tema en la actualidad. Escribir un libro de texto de topología algebraica de vanguardia - TEXTO, no MONOGRAFÍA - es un poco como tratar de escribir uno sobre álgebra o análisis. Los campos son tan gigantescos y crecientes que la tarea parece insuperable.

Sólo hay dos libros de texto avanzados "estándar" en topología algebraica y ambos tienen ya más de 30 años: Robert Switzer Topología algebraica: homología y homotopía y la de George Whitehead Elementos de la teoría de la homotopía . La teoría de la homotopía, en particular, ha sufrido una transformación completa y una expansión explosiva desde que Whitehead escribió su libro. (Dicho esto, el hecho de que este clásico esté descatalogado es un crimen.) Hay un hermoso libro de texto reciente que es una muy buena adición a la literatura, el de Davis y Kirk Conferencias sobre topología algebraica - pero la mayor parte del material de ese libro es anterior a 1980 y se centra en los aspectos geométricos del tema.

Necesitamos un libro que analice el tema en su estado actual y prepare a los estudiantes avanzados para la literatura de investigación y las monografías especializadas, así como que haga el tema accesible al matemático no experto que quiere aprender el estado del arte pero no ahogarse en él. El hombre más cualificado para escribir ese texto es el que pronunció las palabras con las que empecé este post. Su hermoso y conciso curso es un clásico por una buena razón; rara vez tenemos un experto que nos dé su "opinión" sobre un campo. Es demasiado difícil para un primer curso, incluso para los mejores estudiantes, pero es una lectura complementaria "imprescindible". Me gustaría que el Dr. May -quizá cuando se jubile- encuentre tiempo para escribir un texto verdaderamente completo sobre el tema en el que ha tenido un efecto tan profundo. ¿Alguien tiene noticias al respecto de futuros textos avanzados de topología?

Voy a cerrar esta caja y a abrirla compartiendo lo que puede ser el primer libro de texto de este tipo disponible como un conjunto masivo de apuntes en línea. Acabo de descubrirlo esta noche; es de Garth Warner, de la Universidad de Washington, y se puede descargar gratuitamente en su sitio web. No sé si es la respuesta, pero parece un gran paso en la dirección correcta. Que lo disfruten. Y por favor, comenten aquí. http://www.math.washington.edu/~warner/TTHT_Warner.pdf

Answer 1

Dios mío, Charles, ¿el reenvío de esto fue una invitación para otro anuncio mío? ``Más topología algebraica concisa. Localization, completion, and model categories'', por Kate Ponto y yo mismo, está disponible para su compra y se publicará formal y oficialmente el próximo mes. Tengo un ejemplar en mis manos, y la versión final tiene 514 páginas (incluyendo la bibliografía y el índice). Sigue costando 65 dólares (y no caigan en las ediciones piratas de la web). No es perfecto, por supuesto. (Sé de un error por descuido que todos los lectores captarán y de un error sutil que casi ningún lector captará). Ofrezco 10 dólares a cualquier lector que encuentre un error que yo no conozca, incluso las erratas. El libro pretende ayudar a llenar ese vacío (y está prevista otra continuación, más calculada, de Concise). La primera mitad abarca la localización y la terminación y es más técnica de lo que esperaba, simplemente porque se necesitaban muchos detalles para completar la teoría tal y como quedó en las grandes fuentes de principios de los años 70 (Bousfield-Kan, Sullivan, Hilton-Mislin-Roitberg, etc.), especialmente sobre los teoremas de fractura. La segunda mitad es una introducción a la teoría de categorías de modelos, y tiene una serie de características idiosincrásicas, como el énfasis en la tricotomía de Quillen, Hurewicz, y las estructuras de modelos mixtos en espacios y complejos de cadenas. El orden es deliberado: los principiantes deberían ver un ejemplo trabajado de álgebra homotópica seria antes de empezar con la teoría de homotopía categórica. Hay un tema extra sobre álgebras de Hopf para topólogos algebraicos y un breve manual sobre secuencias espectrales. Hay ejemplos de aplicaciones salpicados, aunque hubiera sido deseable que hubiera más. El libro ya es bastante largo. Feliz Navidad a todos.

Answer 2

Estoy absolutamente emocionado por la existencia de la "Teoría de la Homotopía Clásica Moderna" de Strom:

http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=GSM-127

Creo que es una lectura esencial. Muy recomendable.

Answer 3

La topología homotópica de Fuchs, Fomenko y Gutenmacher, mencionada anteriormente por Ilya Grigoriev, es un libro maravilloso que es prácticamente desconocido aquí (la versión en inglés fue hecha por un oscuro de Europa del Este y está agotado desde hace décadas) y es difícil de conseguir incluso a través de un préstamo interbibliotecario. un préstamo interbibliotecario. Ahora está disponible en pdf en

http://www.math.columbia.edu/~khovanov/algtop2013/

aunque los archivos son bastante grandes.

Answer 4

En este momento estoy leyendo el libro Introducción a la teoría de la homotopía por Paul Selick. Es bastante corto pero cubre temas como las secuencias espectrales, las álgebras de Hopf y los espectros. Es el primer lugar en el que he encontrado explicaciones (que yo entienda) de cosas como las secuencias de Mayer-Vietoris de grupos de homotopía, los cuadrados de homotopía pushout y pullback, etc. El autor escribe en el prefacio que el libro está pensado para llenar el vacío del que habla el OP.

Answer 5

Aparte de los "libros de texto", hay bastantes apuntes de clase preparados de manera más informal. Muchos de ellos están disponibles en línea, pero a menudo no están bien publicitados o no son fáciles de encontrar, ya que normalmente no se publican o no llegan a arxiv. Voy a enumerar un par de ellos que conozco (he asistido a algunos de estos cursos), y pondré en wiki esta respuesta para que la gente pueda añadir más. Los tipos de apuntes de cursos que tengo en mente son los que introducen o cubren algún gran tema moderno, más que los que están orientados a demostrar un teorema.

• El curso de Haynes Miller sobre Cobordismo (notas de Dan Christensen y Gerd Laures). Una introducción al álgebra de Steenrod, cobordismo, grupos formales, $MU$ y $BP$ y mucho más.

• Haynes Miller, curso sobre la teoría de homotopía del problema del campo vectorial, parte 1 y parte 2 (notas manuscritas de mi Matt Ando). Cubre temas clásicos relacionados con el problema del campo vectorial, la secuencia EHP y el trabajo de Adams sobre Im(J). Estos están disponibles en forma incompleta en un Documento TeX .

• Un par de apuntes de cursos de Mike Hopkins sobre cohomología elíptica y cosas relacionadas: 1995 , 1999 .

• Jacob Lurie imparte actualmente un curso en Harvard sobre homotopía cromática. Está publicando su notas de clase y Chris Schommer-Pries también publica notas .

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