Matemáticas de la integral de la trayectoria: estado de la técnica

Question

Me han dicho que una de las herramientas más eficientes (por ejemplo, en términos de cálculos relevantes para la física, pero también en términos de adivinar hechos matemáticos heurísticos) que utilizan los físicos es la llamada "integral de trayectoria de Feynman", que, según tengo entendido, significa "integrar" una funcional (acción) en algún espacio infinito-dimensional de configuraciones (campos) de un sistema.

Desgraciadamente, parece que, salvo en algunos casos como las integrales de tipo gaussiano, no se pueden eliminar las comillas en el término "integración", porque todavía no se ha inventado una teoría de integración matemáticamente sólida en espacios de dimensión infinita, según me han dicho.

Me gustaría conocer el estado de los intentos de convertir esta "integral de trayectoria" en una entidad matemática bien definida.

Las dificultades de naturaleza analítica están ciertamente presentes, pero leí en alguna parte que tal vez la verdadera naturaleza de la integral de trayectoria estaría oculta en algunas estructuras combinatorias o de categoría superior que aún no se comprenden...

Edición: Debería ser más preciso sobre el tipo de respuesta que esperaba a esta pregunta. No estaba preguntando por referencias de libros/artículos en los que se tratara la integral de trayectoria de forma extensa y detallada. Simplemente me hubiera gustado tener algún relato "fresco", (relativamente) conciso y no demasiado especializado de la situación; algo así como "Esencialmente, los problemas se deben a esto y a esto, y ha habido enfoques X, Y, Z que se centran en A, B, C; se han hecho algunos progresos en ... pero siguen existiendo problemas en ...".

Answer 1

No es exacto decir que no existe ninguna teoría de integración en espacios de dimensión infinita. La medida de Feynman de firma euclidiana se ha construido - como una medida sobre un espacio de distribuciones - en una serie de casos no triviales, principalmente por la escuela constructiva de QFT en los años 70.

Las construcciones matemáticas reflejan las ideas físicas de la teoría del campo cuántico efectivo: Se obtiene la medida en el espacio de historias de campo como el límite de una secuencia/red de integrales "regularizadas", que codifican cómo los grados de libertad efectivos de "larga distancia" interactúan entre sí después de que se promedien los grados de libertad de corta distancia de varias maneras. (Se puede imaginar aquí que la distancia larga/corta se refiere a alguna base wavelet, y que obtenemos la secuencia de integrales regularizadas variando la forma en que dividimos la base wavelet en componentes de distancia corta y larga).

No creo que el principal problema del tema sea que necesitemos una nueva noción de integración. Las medidas de Feynman que podemos construir los matemáticos exhiben toda la riqueza de los axiomas de las "categorías superiores" y, además, los cálculos numéricos en la teoría gauge de celosía y en la física estadística indican que el marco existente es, como mínimo, una muy buena aproximación.

El problema, más bien, es que necesitamos una forma mejor de construir ejemplos. Por el momento, hay que adivinar qué familia de integrales regularizadas debes estudiar cuando intentas construir un ejemplo concreto. (En el libro de Glimm y Jaffe, por ejemplo, simplemente sustituyen la lagrangiana de interacción por la correspondiente lagrangiana "normalmente ordenada". En la teoría gauge de celosía, utilizan la teoría de perturbaciones del continuo de corta distancia para averiguar cuál debería ser la acción de celosía).

A continuación, y esta es la parte realmente difícil y físicamente interesante, hay que tener suficiente control analítico sobre la familia para decir qué observables (funciones en el espacio de las distribuciones) son integrables con respecto a la medida del continuo límite. Aquí es donde se gana el millón de dólares, por así decirlo.

Answer 2

En primer lugar, hay varias definiciones rigurosas de integración en espacios de dimensión infinita, como la integral de Bochner en espacios de Banach (véase Wikipedia), o véase el libro de Parthasarathy: "Probability measures on metric spaces" (esto incluye las medidas de probabilidad gaussianas utilizadas por la QFT constructiva ya mencionadas).

No se pueden utilizar para convertir la integral de trayectoria de Feynman en una entidad matemática rigurosamente definida con valores finitos es decir, el problema es obtener una integral que arroje números finitos en modelos físicamente interesantes.

Para empezar, no puede haber una medida invariable por traslación (en el álgebra sigma de Borel) que no sea la que asigna un volumen infinito a cada conjunto abierto en un espacio métrico de dimensión infinita (pista: una bola de radio r contiene infinitas copias disjuntas de la bola de radio r/2). Así pues, la integral de trayectoria, tal y como la escriben los físicos, no tiene ciertamente ninguna interpretación a través de una medida invariable por traslación, al contrario de lo que la notación habitualmente empleada pueda sugerir.

Aunque en la actualidad no existe una definición matemáticamente rigurosa de una integral de trayectoria de Feynman aplicable a un subconjunto interesante de modelos físicos, he aquí algunos libros que dan algunas pistas sobre el estado actual del asunto:

Huang y Yan: "Introduction to Infinite Dimensional Stochastic Analysis" (contiene una descripción de la integral de trayectoria de Feynman desde el punto de vista del "análisis del ruido blanco"),

Sergio Albeverio, Raphael Hoegh-Krohn; Sonia Mazzucchi: "Mathematical theory of Feynman path integrals. Una introducción",

Pierre Cartier, Cecile DeWitt-Morette: "Integración funcional: acción y simetrías".

BTW: Esta es en cierto sentido una pregunta de "un millón de dólares" porque uno de los problemas del milenio del Instituto de Matemáticas de Clay es una construcción rigurosa de las teorías de Yang-Mills.

Answer 3

Recientemente he estado leyendo el libro de Kevin Costello (borrador) Renormalización de las teorías cuánticas de campo que pretende elaborar algunos fundamentos de la teoría cuántica de campos perturbadores siguiendo la "filosofía wilsoniana". No entiendo este tema lo suficientemente bien como para decir mucho, y espero que alguien más pueda decir más; pero creo que la idea básica es, en lugar de hacer integrales sobre espacios de dimensión infinita como $C^\infty(M)$ hacen integrales sobre "aproximaciones" de dimensión finita de estos espacios de dimensión infinita, por ejemplo, el espacio de funciones $C^\infty(M)_{\leq \Lambda}$ de energía $\leq \Lambda$ , donde $\Lambda$ es alguna constante. Creo que la energía $\leq \Lambda$ significa que se toma el laplaciano de $M$ (correspondiente a una métrica riemanniana, que probablemente esté fijada desde el principio), y se toman las funciones propias del laplaciano correspondientes a los valores propios $\leq \Lambda$ . (Que alguien me corrija si me equivoco.) Entonces, una teoría de baja energía debería estar relacionada de forma adecuada con las teorías de alta energía (de hecho, debería estar determinada por ellas).

Puede que me equivoque, pero mi impresión es que es "imposible" hacer una definición rigurosa de la integral de trayectoria: Hay varios problemas con la definición de las medidas apropiadas en espacios de dimensión infinita. Por lo tanto, si queremos que la integral de trayectoria sea "rigurosa", debemos encontrar algún otro medio para definirla, o encontrar alguna solución alternativa "indirecta", como la idea wilsoniana. Pero, de nuevo, no soy un experto en esto; éstas son sólo mis (muy) ingenuas impresiones.

También existe la axiomatización Atiyah-Segal de la teoría cuántica de campos (topológica). Tal vez esto también pueda verse como una solución "indirecta" para "definir" la integral de trayectoria: Evita tener que definir las integrales de trayectoria, y en su lugar axiomatiza las propiedades que deben mantenerse si la integral de la trayectoria podría ser definida rigurosamente. Consulte el artículo de Atiyah papel original y la de Segal notas . Una de las formas en que surgen las cosas categóricas superiores es a través de la propiedad/suposición de "localidad" de las (T)QFT. Para más información, véase, por ejemplo, el artículo de Jacob Lurie sobre las TFT (disponible en su página web ) y sus referencias.

Answer 4

Existe una literatura relativamente amplia sobre las integrales de trayectoria. El mejor libro que conozco es el de Johnson y Lapidus, La integral de Feynman y el cálculo operacional de Feynman , 2000. Véanse también los libros y artículos de Cecile DeWitt-Morette.

Answer 5

He aquí un artículo relativamente reciente de Jonathan Weitsman: http://arxiv.org/abs/math/0509104

Tiene artículos más recientes, pero no estoy del todo seguro de que sigan el programa que pretendía iniciar con este artículo.