¿Alguien puede darme un buen ejemplo de dos teorías de cohomología ordinaria interesantes y diferentes?

Question

Una respuesta a la siguiente pregunta aclararía mi comprensión de lo que es una teoría de cohomología. Sé que es algo que satisface los axiomas de Eilenberg-Steenrod, y sé que esos axiomas permiten trabajar bastante. Pero, ¿qué tipo de cosas no están determinadas por los axiomas? En concreto, ¿puede alguien darme un ejemplo sencillo de un espacio que tenga grupos de cohomología diferentes con respecto a dos teorías distintas? Obviamente, una respuesta trivial sería tomar los coeficientes en anillos diferentes, así que permítanme añadir el requisito de que los anillos de coeficientes deben ser los mismos. Y si hay alguna otra condición necesaria para que la pregunta no sea trivial, añádela también.

Answer 1

Para cualquier espacio que tenga el tipo de homotopía de un complejo CW, su cohomología está determinada de manera puramente formal por los axiomas de Eilenberg-Steenrod, por lo que un contraejemplo es necesariamente algún espacio razonablemente desagradable. He aquí un ejemplo que puedes ver con tus propias manos: considera el espacio $X=\{1,1/2,1/3,1/4,...,0\}$ . Ahora bien, la cohomología singular 0 es exactamente el grupo de $\mathbb{Z}$ -valores funciones en su espacio que son constantes en los componentes de la trayectoria, por lo que $H^0(X)=X^\mathbb{Z}$ (un grupo incontable) naturalmente para la cohomología singular. Por otra parte, la cohomología de 0º Cech calcula secciones globales de la constante $\mathbb{Z}$ gavilla, es decir localmente constante $\mathbb{Z}$ -funciones valoradas en su espacio. Estas deben ser constantes en una vecindad de 0, por lo que la cohomología de Cech $H^0(X)$ es realmente libre de rango contable, generado (por ejemplo) por las funciones $f_n$ que son $1$ en $1/n$ , $-1$ en $1/(n+1)$ y $0$ en otro lugar, más la función constante $1$ .

Debo añadir que a los topólogos no les interesan esos ejemplos. El objetivo de los axiomas de Eilenberg-Steenrod es mostrar que la cohomología de los espacios razonables está determinada por propiedades puramente formales, y estas propiedades formales son en realidad mucho más útiles que cualquier definición específica que se pueda dar (¡el único objetivo de una definición es mostrar que las propiedades formales son consistentes!) Lo que es de interés es cuando se elimina el axioma de dimensión para obtener teorías de cohomología "extraordinarias", de las que habla Oscar en su respuesta.

Answer 2

El cohomología de la gavilla con coeficientes en la gavilla constante $Z$ coincide con la cohomología singular o la cohomología de Cech para todos los espacios hausdorff paracompactos homológicamente conectados (es el caso de los complejos CW finitos o de los espacios localmente contractibles).

La cohomología de gavilla se comporta mejor que la cohomología singular cuando se trata de la dimensión. Recordemos que la dimensión cohomológica de un espacio topológico compacto X es el mayor número entero $n$ (o $\infty$ ) tal que $H^n(X)\neq 0$ .

Teorema: Si $F$ es un subconjunto cerrado de un espacio topológico compacto $X$ entonces su dimensión cohomológica de gajo es menor que la dimensión cohomológica de gajo de $X$ (véase, por ejemplo, Bredon "sheaf theory", II.16).

Sorprendentemente, este resultado es falso para la cohomología singular. El siguiente ejemplo se debe a Barratt y Milnor (1962). Sea X la unión en $R^3$ de un número contable de esferas de radio 1/n, todas tangentes al plano xy en el origen. La dimensión cohomológica de este espacio compacto es 2. Pero la cohomología singular de este espacio es distinta de cero en grados arbitrariamente grandes. En otras palabras, su dimensión cohomológica singular es infinita.

Answer 3

Un ejemplo que encontré recientemente mientras aprendía sobre la teoría de la forma es el curva sinusoidal cerrada del topólogo . La cohomología singular cero (coeficientes enteros) es Z^2, mientras que la cohomología Cech cero (de nuevo coeficientes enteros) es Z.

No puedo dar una gran razón de por qué esto es así, ya que yo mismo estoy aprendiendo sobre los tecnicismos, pero parece ser un ejemplo estándar.

Answer 4

Puede ser interesante notar que los ejemplos dados por Eric y Justin también muestran por qué es necesario usar la cohomología de Čech cuando se trata de la dualidad de Alexander para subconjuntos cerrados arbitrarios de una variedad cerrada (y orientable). Si uno considera A={1/n | n>=1} como un subconjunto de R/Z=S^1 entonces su complemento es una unión disjunta contable de intervalos abiertos y su homología 0-th (para cualquier teoría que satisfaga los axiomas) es libre con una base contable. Así que la dualidad de Alexander exigiría que la cohomología 0-ésima de A también tuviera una base contable, lo que es cierto para la cohomología de Čech pero no para la cohomología singular.

De forma análoga, para la curva cerrada del seno del topólogo como subconjunto de la esfera bidimensional. Su complemento tiene la homología de un punto, por lo que debería tener la cohomología de un punto, lo que también es cierto para la cohomología de Čech pero no para la cohomología singular.

De hecho, esto ha llevado a una observación en el libro de texto clásico de Seifert y Threllfall de que, aunque es posible definir la homología singular para espacios topológicos arbitrarios y no sólo complejos, no es muy útil hacerlo. Pero eso fue en 1934.

Answer 5

Los ejemplos mencionados hasta ahora han puesto de manifiesto que la cohomología de Cech difiere de la cohomología singular en muchos ejemplos que son, a los ojos de la mayoría de los topólogos, bastante patológicos. Quiero concentrarme en un ejemplo de una teoría de homología ordinaria, que es probablemente mucho menos conocida que la cohomología de Cech, pero bastante interesante en contextos geométricos: la homología de estratifoldos (véase la obra de Kreck Topología algebraica diferencial ). Se define como clases de bordismo de ciertos espacios estratificados (incluyendo los manifiestos, pero mucho más).

Un ejemplo en el que difieren la homología del estratificado y la homología singular es la compactificación en un punto de la superficie de género infinito (es decir, la suma conectada infinita de toros), denotada por $F_\infty^+$ . Se le puede dar la estructura de un estratifold y por lo tanto posee una clase fundamental, que es distinta de cero, incluso después de aplicar el mapa inducido de $F_\infty^+\to F_g$ a la superficie de género g. Tal clase no existe en la homología singular (ver Topología Algebraica Diferencial, capítulo 20.2). El espacio $F_\infty^+$ no es seguramente lo primero que uno considera, pero sigue teniendo cierto atractivo geométrico (y es un conjunto compacto de $\mathbb{R}^3$ ). Creo que probablemente existen fenómenos similares para las compactificaciones de un punto de otras variedades abiertas.