¿Esta prueba para si $0 < a < b$ entonces $a^2 < b^2$ ¿correcto?

Question

Estoy leyendo el libro 'How to prove it' de Daniel Velleman que presenta una prueba para lo siguiente; si $0 < a < b$ entonces $a^2 < b^2$ como;

Prueba . Supongamos que $0 < a < b$ . Multiplicando la desigualdad $a < b$ por el número positivo $a$ podemos concluir que $a^2 < ab$ y multiplicando de forma similar por $b$ obtenemos $ab < b^2$ . Por lo tanto, $a^2 < ab < b^2$ según sea necesario. Así, si $0 < a < b$ entonces $a^2 < b^2$ .

Sin embargo, también me preguntaba si la afirmación podría demostrarse con el siguiente método.

Prueba . Supongamos que $0 < a < b$ . Tomando la raíz cuadrada de ambos lados de la desigualdad $\sqrt{a^2} < \sqrt{b^2}$ obtenemos nuestra hipótesis original $a < b$ . Por lo tanto, si $0 < a < b$ entonces $a^2 < b^2$ .

Answer 1

En la prueba del libro que has presentado, has asumido $0<a<b$ y dedujo $a^2<b^2$ .

En su prueba presentada, usted ha asumido esencialmente $a^2<b^2$ y dedujo $a<b$ . ¿Por qué? La hipótesis $0<a<b$ nunca se utiliza y tomando la raíz cuadrada de $a^2<b^2$ , tú implícitamente suponga que esa afirmación, deduciendo $a<b$ de ella.

Así, conceptualmente ha demostrado $B\Rightarrow A$ para las declaraciones correspondientes $A,B$ es decir, usted ha establecido $A\Leftrightarrow B$ utilizando $A\Rightarrow B$ de la prueba anterior.

EDITAR: Como se discutió con Ennar en los comentarios, hay además algunos problemas para deducir $a<b$ de $a^2<b^2$ ya que requiere que la función raíz cuadrada sea monótona, propiedad que se deduce del hecho de que la función cuadrada es monótona en $[0,\infty)$ . Entonces, por supuesto, no se puede establecer $B\Rightarrow A$ sin establecer primero $A\Rightarrow B$ Es decir, hay otra circularidad de razonamiento.

Como puedes ver, hay incluso más supuestos implícitos de los que había señalado inicialmente.