Red de espín y de galgas de la red

Question

Veo la similitud entre el Lattice Gauge y el Spin Network. (Por ejemplo, ambas teorías representan la parte del nodo como cuántica (esta última se explica como espín). ¿Hay alguna otra similitud matemática y física entre las dos teorías?

Answer 1

Esta pregunta ya es bastante antigua, pero como se ha modificado recientemente, permítanme dar una respuesta más para otros que lleguen tarde a esta cuestión.

Existe una relación entre la teoría gauge lattige y los estados de red de espín, es decir, estos últimos forman una base del espacio de Hilbert de la teoría gauge lattige. Permítanme ser un poco más explícito.

En primer lugar, una red de espín correspondiente a un grupo de Lie (compacto) $G$ puede definirse abstractamente como un triple $(\gamma,\rho,i)$ que consiste en los siguientes datos:

1. Un grafo dirigido finito $\gamma=(\mathcal{V},\mathcal{E})$ con mapa de destino y de origen $t,s:\mathcal{E}\to\mathcal{V}$ .
2. Un mapa $\rho$ asignando a cada arista $e\in\mathcal{E}$ una representación irreducible de $G$ .
3. Un mapa $i$ asignando a cada vértice $v\in\mathcal{V}$ un entrelazador del tipo \begin{align*}i_{v}:\bigotimes_{e \in\mathcal{T}(v)}\mathcal{H}_{e}\to\bigotimes_{e^{\prime}\in\mathcal{S}(v)}\mathcal{H}_{e^{\prime}},\end{align*} donde $\mathcal{H}_{e}$ y $\mathcal{H}_{e^{\prime}}$ son los espacios vectoriales correspondientes a las representaciones asociadas a las aristas $e$ y $e^{\prime}$ .

Ahora, las redes de espín aparecen naturalmente en la discusión de la teoría gauge en un gráfico. Para ello, consideremos un grupo de Lie (compacto, conectado y de dimensión finita) $G$ así como un director $G$ -bundle $P$ sobre un $d$ -de las dimensiones de la colmena $\mathcal{M}\cong\mathbb{R}\times \Sigma$ , donde $\Sigma$ es alguna hipersuperficie que representa el espacio. Además, dejemos que $\gamma=(\mathcal{V},\mathcal{E})$ sea un grafo dirigido finito incrustado en $\Sigma$ . Ahora, como es habitual en la teoría gauge reticular, discretizamos una conexión $1$ -de nuestro haz principal (es decir, un campo gauge en la terminología física) asignando un elemento de grupo $g\in G$ a cada borde. Por lo tanto, el espacio de conexiones discretas viene dado por $$\mathcal{A}_{\gamma}:= G^{\vert\mathcal{E}\vert}$$ Una transformación gauge puede describirse mediante un elemento de grupo $h_{v}$ que viven en los vértices de $\gamma$ y actúa como $$g_{e}\mapsto h^{-1}_{t(e)}g_{e}h_{s(e)}$$ en algún elemento del grupo $g_{e}$ . Por tanto, el conjunto de transformaciones gauge viene dado por $$\mathcal{G}_{\gamma}:= G^{\vert\mathcal{V}\vert}.$$ Utilizando la medida de Haar (normalizada) en cada copia de $G$ en $\mathcal{A}_{\gamma}$ obtenemos un espacio de Hilbert bien definido $L^{2}(\mathcal{A}_{\gamma}/\mathcal{G}_{\gamma})$ que puede identificarse con el subespacio de $L^{2}(\mathcal{A}_{\gamma})$ que consiste en funciones invariantes de la galga.

Ahora, el punto principal es el siguiente. Como se discute ampliamente en arXiv:gr-qc/9411007 se puede demostrar, utilizando el teorema de Peter-Weyl y algunos trucos, que existe el siguiente isormofismo:

$$L^{2}(\mathcal{A}_{\gamma}/\mathcal{G}_{\gamma})\cong\bigoplus_{\rho\in\Lambda^{\mathcal{E}}}\bigotimes_{v\in\mathcal{V}}\mathrm{Int}\bigg(\bigotimes_{e\in\mathcal{S}(v)}\mathcal{H}_{\rho_{e}},\bigotimes_{e\in\mathcal{T}(v)}\mathcal{H}_{\rho_{e}}\bigg ).$$

donde $\Lambda$ es el conjunto de todas las (clases de equivalencia de) representaciones irreducibles y unitarias de $G$ y donde $\mathcal{H}_{\rho}$ denota el espacio de representación correspondiente a algún $\rho\in\Lambda$ . Utilizando esto, así como la definición anterior de redes de espín, está claro que los estados de las redes de espín realmente abarcan el espacio de Hilbert de la teoría gauge en un gráfico.

Answer 2

Usted pregunta si hay similitudes matemáticas entre ambos. De hecho, existe una estructura matemática llamada red de manómetros que acomoda tanto la teoría gauge de celosía como las redes de espín. Fue introducido por Marcolli y van Suijlekom en

https://arxiv.org/abs/1301.3480

(se publicó el mismo año en que usted publicó esta pregunta).

He aquí una descripción aproximada: una red de espín es, en cierto sentido, una versión discreta de una variedad de espín (la variedad de "espín" es aquella cuya estructura global permite la existencia de espinores). Una teoría gauge de celosía es una versión discreta de un colector con una teoría gauge definida en él (un "haz G principal sobre un colector" en la jerga).

Un grafo de calibre adjunta datos algebraicos más generales que cualquiera de estas dos teorías a los nodos y aristas de un grafo. Tanto las redes de espín como las teorías gauge de celosía son casos especiales de las redes gauge. Por tanto, si se trabaja con la estructura de las redes gauge, se está en el entorno discreto adecuado para empezar a hablar simultáneamente de gravedad y de teorías gauge.