Es/debe ser una teoría de la finitos solucionable extensiones a través de un determinado campo base? Podría estar basado en/uso de la clase de teoría del campo? Suponga que el campo base no es un campo local.
Respuesta
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Como FC dice, puesto que solucionable extensiones están construidas de abelian extensiones de campo de la clase de teoría es ciertamente relevante y útil en la comprensión de la estructura de solución de extensiones. Por otro lado, para hacer esto de una manera sistemática requiere la comprensión de la clase de teoría de campo de cada campo de número en una torre de "todos a una". La imagen que se obtiene de esta manera parece muy borrosa en comparación con el clásico gol de campo de la clase de teoría: describir y parametrizar el finito abelian extensiones L de un campo K en términos de datos construida a partir de K sí mismo. En el caso de un campo de número, esta descripción es en términos de grupos de (generalizada) ideal de las clases, o alternativamente, en términos de cocientes de la idele grupo de clase. Estoy bastante seguro de que no hay ninguna descripción de como esta para resolver las extensiones de cualquier número de campo.
Lo que te puedo ofrecer es un montón de comentarios:
1) a Veces uno tiene una buena comprensión de la totalidad absoluta de grupo de Galois de un campo K, en cuyo caso se obtiene una buena comprensión de su máxima (pro-)solucionable cociente. Por supuesto, esto sucede si el absoluto Galois grupo abelian.
2) a Pesar de la OP del deseo de excluir a los campos de la región, esta es una de las historias de éxito: el absoluto completo grupo de Galois de un campo local (completa, de forma discreta con valores de campo con finito de residuos de campo) es topológicamente finitely presentado prosolvable grupo con explícitamente conocida generadores y relaciones.
3) Por otro lado, parece que estamos muy lejos de una descripción explícita de la máxima solucionable extensión de P. Por ejemplo, en el papel
MR1924570 (2003h:11135) Anderson, Greg W.(1-MN-SM) De Kronecker-Weber, además de epsilon. (Resumen en inglés). El Duque De Matemáticas. J. 114 (2002), no. 3, 439--475.
el autor determina el grupo de Galois de la extensión de la P^{ab} que se obtiene al tomar el compositum de todos los cuadrática extensiones K/Q^{ab} tales que K/Q es de Galois. La semana pasada escuché una charla de Amanda Beeson de Williams College, que está trabajando duro para ampliar Anderson resultado al imaginario cuadrática campos.
4) Esta pregunta parece ser mayormente ortogonal a la "norma" conjetural generalizaciones de campo de la clase de teoría, a saber, la Langlands Conjeturas, que se refieren a finito dimensionales complejo de representaciones de Galois absoluto del grupo.
5) Una gran cantidad de personas están interesadas en los puntos en variedades algebraicas sobre la máxima solucionable de extensión de la P^{solv} de P. El campo arithmeticians en particular, tienen una folclore conjetura de que Q^{solv} es Pseudo Algebraicamente Cerrado (PAC), lo que significa que cada absolutamente irreductible variedad, más que el campo tiene un punto racional. Esto podría tener aplicaciones en cosas como la Inversa de Galois Problema y la Fontaine-Mazur Conjetura (si es que todavía está abierto!). Si una descripción explícita de Q^{solv}/Q iba a ser tan útil en estos emprendimientos parece discutible. Tengo un papel en abelian puntos sobre variedades algebraicas, en el que las aportaciones de classfield teoría es mínima.
Los dos papeles en la solución de los puntos que yo sepa (y muy admiro mucho) son:
MR2057289 (2005f:14044) Pál, Ambrus Solucionable puntos sobre curvas algebraicas proyectivas. Canadá. J. Math. 56 (2004), no. 3, 612--637.
MR2412044 (2009m:11092) Çiperiani, Mirela; Wiles, Andrew Solucionable puntos de género una de las curvas. El Duque De Matemáticas. J. 142 (2008), no. 3, 381--464.
